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摘要--I摘要数学命题的证明方法分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的就是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但是比较零散，对其定义、步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数学中反证法的定义、反证法的逻辑依据、步骤以及种类，解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾、以及那些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳。这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而达到预期效果。关键词反证法；假设；矛盾；结论Abstract--IIAbstractThemathematicalproofpointsdirectlyproofspropositionandindirectprooftwo.Inindirectproof,themostcommonisrequired.Althoughpeacetimewecontactwiththerelatedknowledge,butisscattered,oftheconcept,applicationprocedures,thescopeofuseofnotunderstandingofthesystem,andthemathematicalpropositionthediversityandcomplexity,whichissuitableforpropositionisverydifficulttogivetheexactwithreductiontoanswer.Thissubjectwillberequiredinthemiddleschoolmathematicsconcept,apagogeislogicalbasis,stepsandtypes,problemsolvingprocessofhowahypothesisofcontradictions,andlookingforwhattypesofquestionsappropriatecounter-evidencemethodfromtheproofofthesetoutontheinduction.thiswillhelpthestudentstolearntherequiredsystem,improvethestudentsusetoproblemsolvingskillsrequiredtoachievetheexpectedeffectKeywordsCounter-evidencemethod;hypothesis;contradiction;conclusionAbstract--I目录摘要...........................................................................................................................................IAbstract..................................................................................................................................II1绪论.......................................................................................................................................12反证法的定义、逻辑依据、步骤及种类...........................................................................22.1反证法的定义...................................................................................................................22.2反证法的逻辑依据...........................................................................................................22.3反证法的步骤、种类.......................................................................................................23反证法的适用范围...............................................................................................................43.1基本命题...........................................................................................................................43.2否定式命题.......................................................................................................................43.3限定式命题.......................................................................................................................53.4唯一性命题.......................................................................................................................63.5肯定性命题.......................................................................................................................63.6不等式命题.......................................................................................................................73.7无限性命题.......................................................................................................................83.8本章小结...........................................................................................................................8结论...........................................................................................................................................9参考文献.................................................................................................................................10致谢.........................................................................................................................................11目录--11绪论随着表征数学史第一次危机“2”的问题的出现,人类思维出现一个死结—无限思维，而反证法这种思维方式的出现，无非就是为了解决这一死结。在西方数学中，人们极其注重证明过程中逻辑的严密性、准确性。因此第一次数学危机和第二次数学危机的出现都与无限有关，即无理数(无限不循环小数)问题和极限问题。西方数学家不能对无理数和极限给出准确的定义，也不能解释出与之有关的两个悖论。因此借助逻辑中介也就是反证法将无限化为有限去处理无限问题，再去完成其证明。我们知道，利用边数增加可以使圆内结成正多边形逼近圆，当边数增加到无穷时,我们就可认为这个多边形的就和圆重合，但这种处理方法并非始于刘徽。而是在公元前5世纪由安提丰首先提出，而后安提丰的方法经欧克托斯改造，在处理割圆问题时，欧克托斯借助反证法将一个潜无限问题，化为一个对圆的有限次分割的问题。中国古代的传统(计算)数学里，本身对演绎的证明就不太重视；再加上中国传统逻辑学的不完备，尽管中国的先民们认识到一些逻辑规律，但对于反证法的运用却是凤毛麟角。由于中国古代数学太重于实际的传统，限制了对理论问题做更深层次的探讨。在数学中，即使是刘徽这位在理论与逻辑方面都很擅长的数学大师，只是用到了反驳(如:举反例)。反证法是数学中的一种重要的解题方法，我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，通过运用逆向思维克服思维定势的消极面的方法，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。本文主要从反证法的适用范围进行系统的研究，从而使学生们更清晰的掌握反证法。2反证法的定义、逻辑依据、步骤及种类--22反证法的定义、逻辑依据、步骤及种类2.1反证法的定义定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。例1：求证：如果直线a、直线b都与第三条直线c平行，那么这两条直线也平行。证明：假设，则可设两条直线a、b相交与点A，那么过点A就有两条直线与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，则假设不成立。2.2反证法的逻辑依据反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中的两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者是真或是假，二者必居其一。也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若p则q”为真。像这样证明“若p则q”为真的证明方法，叫做反证法。2.3反证法的步骤、种类反证法的模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，从否定结论开始，经过正确的推理而证明出与逻辑矛盾，从而达到新的否定，可以认为反证法的基本思路就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三个步骤是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。解题的具体步骤：（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。即提出假设