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1、对美的理解在提倡素质教育，培养全面发展人才的今天，提到美，人们便会自然而然的联想到音乐、绘画、舞蹈、影视、文艺等视觉艺术和听觉艺术。而作为研究自然规律的一门学科—数学中，是否存在美？这是历来数学研究者们关注的问题。古代希腊时期的毕达哥拉斯学派第一次提出了“美是合谐与比例”的观点。古代哲学家、数学家普洛克拉斯也断言：“哪里有数，哪里就有美”。。罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种泛而严肃的美。这种美，不是投合我们天性的微弱的一面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。”量子力学的创始人海森堡说：“自然界把我们引向极其简单而美丽的数学形式……我被自然界向我们显示的数学体系的简单性和美强烈地吸引住了。”开普勒甚至认为:“数学是这个世界之美的原型。”从这些论述中，我们可以清楚地看到：数学研究者在其科研活动中深刻感受到了数学美的存在，并以追求数学美来推动数学的不断发展。2、数学美的几种形式数学美的含义是丰富多彩的，如数学概念的精确，数学定理的概括，数学公式的简捷、齐整，数学图形的和谐、对称，数学结构系统的协调、完备，数学方法的奇妙、多样等等，这就决定了数学美具有简单性、统一性、对称性、奇异性、秩序性等表现形式。2．1简单性数学家们常常以简单性作为自己的追求目标，那种最简洁的数学理论最能给人以美的享受。狄德罗曾指出：“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题，所谓美的解答则指一个困难、复杂问题的简单回答。”高斯在回顾二次互反律的证明过程时也曾说：“去寻找一种最美和最简洁的证明，乃是吸引我去研究的主要动力。”最能说明简单性是推动数学发展与创造的美学因素之一的典型例子便是为了避免重复的加法和乘法运算而引进乘法与幂的运算：３＋３＋３＋３＝３×４ａ·ａ·ａ……＝a质能公式E=m，如此深刻地揭示了微观、宏观世界的种种质能变化规律，因而其内容极为丰富，但其表述却又如此简单明了。尤拉公式：e=cosx+isinx指数函数与三角函数在实数域中看不出任何联系，而在复数域中却发现了它们可以互相转化，并且被一个非常简洁的关系式联系在一起。表面上看来复杂得使人眼花缭乱的对象，一旦理出了头绪，却显得异常的简明，从而会唤起理性上的美感。应当注意的是，数学中所说的简洁并不是指纯数学方面的考虑，如证明、计算的简单，而且也包括了逻辑方面的考虑，即要求数学理论在逻辑结构方面也应是简单的。如：由于数学理论是逻辑地展开的，因此，出于简单性的考虑，数学家们就提出了公理的独立性问题，即认为：如果一条公理能由其他的公理推导出来，这一公理在逻辑上就是不必要的。另外，就每一个公理而言，数学家们又认为它们应当是简单的、清晰的，而不应当是复杂的、难以琢磨的。这样，简洁性的考虑就直接促进了公理化方法及数学的发展。2．2统一性数学中的统一性，是指数学中部分与部分，部分与整体之间的和谐一致。数学的统一美，美在数学对客观世界和谐协调、井然有序的真实反映上。数学的统一美，使人们对数学能够居高临下、揽括一切，增强人们洞察世界的深度、广度。例如:（1）代数与几何是两个独立的分支，然而通过坐标系的建立，使点与数建立了对应，从而把代数研究的对象和几何研究的对象——方程与曲线联系了起来，实现了统一。（2）作为有理数、无理数、代数数、超越数、实数、虚数完美统一的象征之一的式子e+1=0是我们已知的，这个式子可说是各种数的一个大统一。（3）在体积计算中就有所谓的“万能计算公式”，它能统一地应用于棱(圆)柱、棱(圆)锥及棱(圆)台的体积计算：V=h(s+s′+ss′)。（4）初等数学中经常见到的代数式可以理解为：a、表示点Ｐ（ｘ，ｙ）到原点的距离；b、表示复数ｘ＋ｉｙ的模；c、若ｘ、y均为正数，可表示为以ｘ、y为直角边的直角三角形斜边的长。像这种不同的内容统一为同一个式子，展现了数学高度的统一性。(5)平面解析几何中圆、椭圆、双曲线和抛物线的统一性，有如下表现：a、从方程的形式看，在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次方程，我们把它们称为二次曲线。b、从点的集合(或轨迹)的观点看，除圆外，它们都是与定点和定直线距离的比是常数ｅ的点的集合(或轨迹)，只是由于离心率ｅ取值的不同而分为椭圆、双曲线和抛物线。c、从天体运行的轨道看，由于天体运动的速度的不同，它们的轨迹分别是圆、椭圆、双曲线和抛物线。d、四种曲线又可以看作不同的平面截圆锥体所得的截面的截线，因此它们又统称为圆锥曲线。e、除圆外，它们在极坐标下的极坐标方程统一。(6)再如勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即。将其进行推演可以得到a、三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即cosC(余弦定理)。b、长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和，即(三度平方和定理)。d、两条异面直线ａ、ｂ所成的角为θ，它们的公垂线ＡＡ′的长度为ｄ，在直线ａ、ｂ上分别取点Ｅ、Ｆ，设Ａ′Ｅ=ｍ，ＡＦ=ｎ，ＥＦ=l，则(异面直线上两点间距离公式)。e、在以ＤＡＢＣ为三个直三面角的四面体D—ＢＣＤ中，第四个面的面积等于三个直三面角的三个面的面积的平方和，即。以上各推演在本质上都统一于勾股定理，如果能够看到不同形式下的相同内核，那么就能更加深刻的理解各个知识，提高对他们的应用能力。以上各例列举的知识统一，恰恰证明了数学家希尔伯特的论断：“尽管数学知识千差万别，我们仍然清楚的认识到，在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着概念的亲缘关系。同时，在它的不同部分之间，也有大量的相似之处。我们还注意到，数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加协调一致，并且一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系。因此，随着数学的发展，它的有机的特性不会丧失，只会更清楚地呈现出来。”2．３对称性所谓对称，即指整体的各个部分之间的匀称和对等。对称美，美在反映事物的秩序、简洁、完整及由此及彼的联系，美在表现了事物运动的稳定性与对立统一规律。在现实世界中，对称的形象是很多的。例如人体的外形，显示出左右对称。树叶以其主脉为对称轴，蜂巢、蛛网呈正多边形。毕达哥拉斯曾说：“一切立体图形中，最美的是球形。一切平面图形中最美的是圆形。”杨辉三角，以非常整齐的三角形排列，得出了二项式不同方次的展开系数；大家都非常熟悉的“九九歌”，如果把九的口诀从左向右做好整齐的排列，也是一个非常严整的直角三角形。对称性还表现为某种相应性。例如，加与减、乘与除、正弦与余弦、指数与对数、有限与无限、微积与积分等等都是如此。再如，在一定条件下，有一个关于极大值的命题，就相应地有一个关于极小值的命题。“如果三角形的周长一定，则当这个三角形是正三角形时面积最大’，与“如果三角形的面积一定，则当这个三角形是正三角形时周长最小”就是相应的命题。2．4奇异性奇异性是指数学中原有的习惯法则和统一格局被新的事物（思想、方法、理论）所突破，或出乎意料，超乎想像的结果所带来的新颖和奇特。弗朗西斯·培根曾说：“没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异。”徐利治也认为：“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美。”在数学史上，种种悖论导致一系列数学危机，使数学研究者们在震惊之余又去苦苦寻找解决危机的方法。力图使猜想变为现实的种种研究，这些都是数学奇异美的结果，它不同程度的推动着数学的发展。在欧几里德几何占统治地位的时代，非欧几何的思想是奇异而“荒诞”的思想。但奇异所造成的并不总是消极的影响，恰好相反，在它们之间常常孕育着新的巨大发展的可能性。再如小学生都能运用自如的分配律ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ就不能推出ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎα＋ｓｉｎβ以及ｌｇ（ａ＋ｂ）＝ｌｇａ＋ｌｇｂ（ａ＞０，ｂ＞０）。这就迫使我们去寻求前因后果；又如经常见到的各种各样的典型错题辩析，常常因“常规”而致，要想解决这些问题，就得弄清相关知识的来龙去脉，使其更具科学化、系统化、完整化。3、数学美的教育作用3．1数学美可以培养学生浓厚的学习兴趣数学中充满美的因素，“不论是优美的几何图形，还是简洁美丽的计算公式，都可以给学习它的人一种美的享受”。图形中的对称，公式中的类比，不仅可以培养学生的想象力，而且可以激发学生的学习兴趣，充分挖掘数学中多种美的因素，诱发学生的学习积极性，对学生的成长发展将起着非常重要的作用。3．2数学美可以使逻辑思维与形象思维有机结合现代脑科学证明，人的左脑主管逻辑思维，右脑主管形象思维。人们一般认为，数学是推理，其实数学中存在大量美的因素，如优美的几何图形及其用几何图形表示的某种运算关系的形象表示，充分显示数学中也大量存在着形象思维，例如想象、直觉、顿悟。因而，充分发掘数学美，可以增强形象思维，使左右脑配合，共同发挥作用，使逻辑思维与形象思维更好地结合，提高学生的思维能力，这也正是全面发展人才的一个必备条件。3．3数学美可以增强学生的创新能力许多事例说明，追求数学美，是数学发展的内在动力之一。一个人要想进行开创性的工作，必须破除思维定势，增强发散思维，数学中的类比、归纳、思辨，都是一种发散思维，只有充分发掘数学美的因素，才能不被逻辑思维所定势，从而思想活跃，思维发散，达到增强创新能力的目的。4、怎样在教学中滲透数学美我们要把数学美的教育渗透到数学教学过程中去，孜求于美，寓教于乐，使学生在潜移默化中激发兴趣、获得修养、提高素质、弄清本质。4．1教学中应揭示教材里潜在的关系因素，使学生自觉地认识到数学的美。对于潜在于数学教学中的数学美，教师应当采用发现法教学，从审美的角度提出问题，创造思维情景，使学生沉浸在渴望求得具有美学特征的新知识情感之中，通过必需而且精炼的实践去获得感知，并在此基础上，让学生，愉快而又顺其自然地再发现具有美感的新知识。在这样的过程中，学生的审美直觉能力必然会得到培养和提高。4．2教学中提供创造数学美的机会。在课堂教学中，若能经常发掘教材中的数学点，就能大大提高学生感受美和鉴赏美的能力，逐步使学生达到运用数学中的美学方法去进行美的创造的初步能力。把创造数学美的活动与培养学生创造性思维工作结合起来的教学必然会收到极好的效果。教师要善于挖掘和发现数学美的创造实践活动。4．3教师应当优化每节课的教学结构，运用各种优美的语言、考究的板书以及各种现代化的教学手段进行教学，要把学生摆在主体的地位，让学生积极主动地参与数学审美活动，去发现和感受数学美，成为知识的主动建构者。另外，审美离不开感情。情感是个体对客观事物比较稳定的态度体验，它是整个数学审美活动中最活跃的心理因素。所以在教学过程中要建立一种民主、和谐、平等的师生关系，使教学过程不仅是认知交流，更表现为一种师生彼此之间的情感沟通的过程。