研究生数值分析(9)矩阵的条件数与病态线性方程组

§3矩阵的条件数与病态线性方程组判断计算方法的好坏，可用算法是否稳定、解的精确程度以及计算量、存储量的大小来衡量。然而，同一方法用于不同问题，效果却可以相差很远。121221.00012xxxx解为122;0xx例如方程组①方程组121220.99991.9999xxxx的解为121;1xx它们的解变化很大，这样的方程组称为“病态”方程组。②下面，我们给出方程组“病态”，“良态”概念及其衡量标准，并介绍判断近似解可靠性方法。为找出刻画方程组AX=b①（A非奇异，b≠0）病态程度的衡量标准，我们来分析A，b初始数据微小变化对解X的影响。由于方程组AX=b系数矩阵A与右端向量b的初始数据微小变化引起解的很大变化，这样的方程组称为“病态”方程组。1矩阵的条件数与线性方程组的性态（1）仅b有小扰动δb设方程组AX=b+δb的解为即()AXXbb②-①得AXb即1XAb于是有1XAb另一方面，由①得bAX且0X故1AXb②③④XXX~由③与④有1XbAAXb表明解的相对误差不超过右端向量b的相对误差的1AA倍。⑤（2）仅有小扰动δA（设A+δA仍可逆）设方程组()AAXb的解为即()()AAXXb⑥-①得()0AXXAX即1()XAAXX于是有1XAAXX⑥XXX~因A+δA可逆且b≠0从而X+δX≠0，故由上式可得1XAAAXXA1AA倍。⑦表明解的相对误差不超过系数矩阵A的1AA分析表明，数反映了方程组AX=b的解对初始数据A，b扰动的灵敏度，可用来刻画方程组的病态程度。我们称数为矩阵A的条件数，记作1AA()CondA1()CondAAA即1()CondAAA与1222()CondAAA由线性代数知识，有max2min()()()TTAACondAAA通常使用的条件数有在行模意义下的条件数与在谱模意义下的条件数，即定义设A是非奇异矩阵，若则称方程组AX=b为病态方程组；若()CondA相对地小，则称方程组AX=b为比如矩阵1111.0001A及其逆矩阵110001100001000010000A1)(ACond良态方程组。在行模意义下的条件数1()200012.000140004CondAAA因此称方程组121221.00012xxxx为病态方程组。在实际计算中，常通过一些容易得到的信息来推断方程组是否病态。例如，当出现下列情况之一时，方程组很可能病态：（1）用选主元消去法消元中出现小主元；（2）系数行列式的绝对值相对地很小；（3）系数矩阵元素间在数量级上相差很大且无一定规律；（4）出现了相对地很大的解。利用定义判断一个方程组是否病态，需要计算矩阵的条件数，从而涉及计算逆矩阵，极不方便。方程组的病态性质，是方程组本身的特性。对于病态方程组，用一般的求解方法不易求得较精确的解，而且病态越严重，求解越困难。练习:求矩阵A的条件数，其中3121A,2,1),(pACondp