浅谈拉氏变换在控制系统时域和频域分析中的应用

浅谈拉氏变换在控制系统时域和频域分析中的应用拉氏变换是求解微分方程的有力工具，应用拉氏变换的复频域分析法在电路的分析中有着重要的作用。在电子学、控制系统及统计学中，频域是指在对函数或信号进行分析时，分析其和频率有关部份，而不是和时间有关的部份，和时域一词相对。函数或信号可以透过一对数学的运算子在时域及频域之间转换。例如傅里叶变换可以将一个时域信号转换成在不同频率下对应的振幅及相位，其频谱就是时域信号在频域下的表现，而反傅里叶变换可以将频谱再转换回时域的信号。时域分析法又称经典法，是一种建立微分方程，求解微分方程从而得出电路响应的方法。由于电感和电容元件的电压、电流关系是微分关系，由此列出的电路方程是微分方程，求解结果是电路的完全响应，此时响应电压和电流都表示为时间t的函数，为时域响应。复频域分析法是一种用电压电流的象函数代替对应的时间函数，并根据电路的复频域模型，应用复频域形式的基尔霍夫定律、元件方程，从而将原来的线性微分方程变为线性代数方程的方法。复频域分析法分析电路有两种方法，变换方程法和变换电路法。变换方程法是将描述动态电路的微分方程，经拉氏变换为复频域代数方程，在复频域求解后，反变换为时域响应；变换电路法是将时域电路直接变换为复频域电路，即复频域模型，然后根据复频域模型进行分析计算，得出响应量的复频域形式，最后反变换为时域响应。应用拉氏变换分析电路，主要的优点有：拉氏变换能将电路分析时域求解微分方程的问题转化为复频域求解代数方程问题，从而使求解得以简化。可以同时解出微分方程的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，而且初始条件自动地包含在变换式或复频域模型中，不需要确定积分常数。从而避免了时域求解微分方程确定积分常数的繁琐计算。应用拉氏变换，可以直接作出时域电路的复频域模型。在复频域模型的基础上进行分析计算，可以实现几类电路分析方法的统一，而不必在时域列出微分方程，使分析计算大为简化。拉氏变换可以将时域电路的常系数线性微分方程变换为复频域的复数代数方程，在复频域求解代数方程，得出待求响应量的复频域函数，最后经拉氏反变换为所求解的时域响应。这种方法的实质就是时域问题变换为复频域来求解，使分析计算易于进行。以信号为例，拉氏变换使信号在时域下的图形可以显示信号如何随着时间变化，而信号在频域下的图形（一般称为频谱）可以显示信号分布在哪些频率及其比例。频域的表示法除了有各个频率下的大小外，也会有各个频率的相位，利用大小及相位的资讯可以将各频率的弦波给予不同的大小及相位，相加以后可以还原成原始的信号。在频域的分析中，常会用频谱分析仪来将实际的信号转换为频域下的频谱。频域，尤其在射频和通信系统中运用较多，在高速数字应用中也会遇到频域。频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。时域是惟一客观存在的域，而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。这是正弦波的一个非常重要的性质。然而，它并不是正弦波的独有特性，还有许多其他的波形也有这样的性质。使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方。若使用正弦波，则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解和解决。如果变换到频域并使用正弦波描述，有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案。时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。以下是几个拉氏变换信号的频域分析处理在实际中的应用。“耳声发射”——由内耳耳蜗产生且可在外耳道中记录到的微弱声能量。耳声发射的存在与否是听觉外周系统是否完好无损的客观指标。耳声发射反映的是耳蜗外毛细胞的功能。频谱中某一频率成分的强弱与耳蜗相应感音频率处外毛细胞的活性有关，通过频谱分析就可以推测出耳蜗上外毛细胞活性的增益因子Ｇｎ。通过分析耳聋患者的幅度频谱，进而分析增益因子Ｇｎ，就可以知道患者是高频耳聋患者还是低频耳聋患者，并且可以获知耳蜗病灶的位置。医学超声中的频率信号处理。在超声多普勒技术中，超声探头接收的回波信号除了来自血流的多普勒频移信号外，还包含来自房壁、房室、血管壁和瓣膜运动的信号。这些信号特点是幅度高，频率低，如不滤除将会干扰多普勒频谱显示。显然，比滤波器在滤除血管壁运动信号的同时也会滤去与血管壁运动信号相近的低速血流。所以壁滤波器有几种选择，如检测高速血流，如心室流出道和月瓣的血流，则滤波器频率可提高，一般为400-800Hz；如检测低速血流，如如腔静脉及肺静脉及房室瓣的血流，则滤波器频率要在抑制壁搏动信号的原则下，尽可能保持低。医学超声信号检测也处理。以上我们将的频域和时域只是对信号分析和处理的不同方法，实际上两者在医学超声信号检测、处理中都要用到。比如在超声诊断仪中要检测出回波信息，包括幅度信息，多普勒频移信息及谐波信息。一般的超声诊断仪只要求检测出幅度信息即可，这就是普通Ｂ超。双功Ｂ超则还要求检测出多普勒频移信息，以实现具有脉冲，连续多普勒功能的Ｂ超。彩超则要求进一步从检测到的多普勒频移信息中计算出每个取样点的血流速度大小、方向及方差，以构成二维血流平面图。九十年代以来的发展的彩超中的功率模式，即能量图是将正交检测到的两路多普勒频移信号进行平方根处理获得。从而使血流信号检测灵敏度大为提高，以至可检测出微小血流。在频域将回波中的两倍谐波分量提取出来进行处理，形成二维谐波图高，一般为４００—８００Ｈｚ；如检测低速血流，如腔静脉、象，是九十年代末兴起的新的成像技术。其对冠动脉，心肌血流灌注等观察很有益。通过自己对其他学科的学习和老师对拉氏变换应用的介绍，我了解到拉氏变换应用的广泛性，它与我们目前所学的电路分析，信号系统，自动控制原理等学科有着密切的联系，在很多问题的分析中有着很大的作用，能够很大程度上简化从而解答问题。如基于拉氏变换得到的传递函数无需建立数学模型，而基于时域的微分方程用于控制系统的分析与设计时，在使用上有系统内部结构不明确，微分方程求解麻烦等缺点。拉氏变换把时域中的两个函数的卷积运算转换成为复频域中两个函数的乘法运算，在此基础上便可建立网络函数的概念，这为研究经线性电路的传输问题提供了许多方便。同时，在无线电技术中经常遇到的指数函数、超越函数，经拉氏变换可转换为简单的初等函数，而且对于某些非周期的具有不连续点的函数，用时域分析法法求解比较繁琐，但用复频域分析法求解就变得很简单。