概率论与数理统计试卷合集附答案

1《概率论与数理统计》期末试题一一、填空题（每小题4分，共40分）1、设A与B为互不相容的两个事件，0)B(P，则)|(BAP0。2、事件A与B相互独立，,7.0)(,4.0)(BAPAP则)(BP0.5。3、设离散型随机变量X的分布函数为01x)(xFa11xa3221xba2x且21)2(XP，则a61b,65。4、某人投篮命中率为54，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___6254________。5、设随机变量X与Y相互独立，X服从“0-1”分布，4.0p；Y服从2的泊松分布)2(，则._______24.2____)(_______,4.2____)(YXDYXE6、已知,31,9)Y(D,16)X(DXY则.___36___)Y2X(D7、设总体X服从正态分布),,0(2N从总体中抽取样本,,,,4321XXXX则统计量24232221XXXX服从_______)2,2(F______________分布。8、设总体X服从正态分布),1,(N其中为未知参数，从总体X中抽取容量为16的样本，样本均值,5X则总体均值的%95的置信区间为____（4.51，5.49）____。（96.1975.0u）29、若),(~),,(~222211NYNX，且X与Y相互独立，则YXZ服从______),(222121N______分布。二、计算题（每小题10分，共60分）1、(10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。解：（1）一只是正品一只是次品的概率为：73CCC281216…………………（2）第二次才取得次品的概率为：1437826＝………………………（3）令1A表示“第一次取出的是正品”，2A表示“第一次取出的是次品”B表示“第二次取出的是次品”第二次取出的是次品的概率为：4182718672)A(P)A|B(P)A(P)A|B(P)B(P2211……………………………2、（10分）设随机变量X的概率密度)(xf1Ax20x0其它求：（1）A的值；（2）X的分布函数)(xF；（3）}.5.25.1{xP解：（1）由1dx)x(f可得，2021A1dx)1Ax(………………所以，)(xf1x2120x0其它3（2）)x(F0，0xxx412，20x………………….12x（3）25.1161dx)1x21(}5.2x5.1{P…………………..3、（10分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）X和Y的联合分布律；（2）X和Y的边缘分布律。解：（1）X和Y的联合分布律为：。分别为2,1,0n,m4CC251)5.0()5.0(C)8.0()2.0(C)nY,mX(P)m1(n2m2n2nn2m2mm2…………………………………（2）X和Y的边缘分布律。由于X与Y相互独立，所以X和Y的边缘分布律分别为：。，2,1,0m)8.0()2.0(C)mX(Pm2mm2。，2,1,0n)5.0()5.0(C)nY(Pn2nn2…………………………………….4、（10分）设总体X的概率密度为,1x10x)(xf0，其它（1）求的最大似然估计量；（2）求的矩估计量。解：（1）似然函数为：10,)();,...,,(111121iininininxxxxxxL……………………………取对数为：n1iixln)1(lnnLln……………………….由0dLlnd得，n1iin1iixlnn0xlnn…………………………4则的最大似然估计量为：n1iiXlnnˆ。………（2）1011dxxxEX………………………………由XEX得，的矩估计量为：X1Xˆ……………5、（10分）某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布)108.0,55.4(N2，现测得9炉铁水的平均含碳量为4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（05.0）？（注：,645.195.0u,96.1975.0u,3060.2)8(t975.08595.1)8(t95.0）解：,55.4:H055.4:H1…………………在原假设成立的条件下，)1,0(N~n/108.055.4X………………已知,05.0则96.1u21，由9n得拒绝域为：}96.1|3/108.055.4X{|……………………………当484.4X时，96.183.1611|3/108.055.4X|………………所以拒绝原假设，即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55。1、设A与B为互斥事件，0)B(P，则)B|A(P08、已知总体),(N~X2，2,均未知，现从总体X中抽取样本,X,,X,Xn21则的矩估计量ˆX；2的矩估计量2ˆnkkkxxn11。10、设随机变量),(~pnBX且4.2EX，44.1DX，则n6，p0.4。51、（10分）一人从外地到北京来参加一个会议，他乘火车的概率为53，乘飞机的概率为52，如果乘火车来，迟到的概率为41，乘飞机来，迟到的概率为61，求：（1）此人迟到的概率；（2）如果他迟到了，那么他是乘飞机来的概率为多大？解：设C=“此人迟到”，A=“乘火车”，B=“乘飞机”则53AP，52BP，41ACP，61BCP（1）由全概率公式：601361524153BCPBPACPAPCP（2）由贝叶斯公式：13460136152BCPBPACPAPBCPBPCBP2、（10分）某汽车总站每隔3分钟发一趟车，乘客在3分钟内的任一时刻到达是等可能的，若以X表示乘客的候车时间，求：（1）乘客候车时间X的概率分布。（2）乘客候车时间不超过2分钟的概率。解：（1）其它0,3x0,31)x(f（2）32dx31)2X(P206、（10分）为了比较甲、乙两件品牌灯泡的寿命，随机抽取了10只甲种灯泡和8只乙种灯泡，测得平均寿命分别为x甲=1400（小时）和x乙=1250（小时），样本标准差分别为s甲=52（小时）和s乙=64（小时），设两种灯泡的寿命分别服从正态分布，且方差相等，试计算两种灯泡的平均寿命之差乙甲的9500置信区间。（注：1199.2)16(975.0t,7459.1)16(95.0t）解：因为两种灯泡的寿命分别服从正态分布，且方差相等采用T统计量，2~11X21212121nntnnSXTw又知x甲=1400x乙=1250，s甲=52，s乙=648,1021nn，05.0，1199.2)16(975.0t656.57166475292112221222211nnSnSnSw两种灯泡的平均寿命之差乙甲的9500置信区间的下限为：21XX)16(975.0t2111nnSw=1400-1250-2.1199×57.56×0.474342=92.12置信区间的上限为：21XX)16(975.0t2111nnSw=1400-1250+2.1199×57.56×0.474342=207.88两种灯泡的平均寿命之差乙甲的9500置信区间（92.12，207.88）1、设A与B为相互独立的两个事件，0)B(P，则)B|A(P)A(P。3、已知)4,5.1(N~X，则}5.3X{P)1(；}5.3|3-X{|P)1()2.5(2。（请采用)(的形式表示计算结果）10、设总体X服从正态分布),(N2，从总体X中抽取样本,X,,X,Xn21样本均值为X，样本方差为2S，若2未知，检验假设0100:H;:H，则使用的统计量为n/SX0，在显著性水平下关于0H的拒绝域为{)1n(t|n/SX|210}。1、已知一群人中，男人的色盲患者为%5，女人的色盲患者为0.25%，又知这群人中男女人数相等，现从其中随机抽取一人，求：（1）这个人是色盲的概率？（2）若这个人恰好是色盲，求其是男性的概率？解：（1）令A表示“这个人是色盲”，B表示“这个人是男的”。%625.25.0%25.05.0%5)B(P)B|A(P)B(P)B|A(P)A(P72120%625.25.0%5)B(P)B|A(P)B(P)B|A(P)B(P)B|A(P)A|B(P七、（15分）设12,,,nXXX是来自几何分布1()(1),1,2,,01kPXkppkp，的样本，试求未知参数p的极大似然估计.解1111(,,;)(1)(1)niiinxnxnniLxxppppp----------5分1lnln()ln(1),niiLnpXnp1ln0,1niiXndLndppp--------------------------------10分解似然方程11niinXnpp，得p的极大似然估计1pX。--------------------------------------------------------------------15分一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件BA,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(BPAP，则BA,至少有一个不发生的概率为__________.2．设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP，则)3(XP______.3．设随机变量X在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2XY在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY_________.4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为的指数分布，2)1(eXP，则_________，}1),{min(YXP=_________.5．设总体X的概率密度为其它,0,10,)1()(xxxf1.nXXX,,,21是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.解：1．3.0)(BABAP即)(25.0)()()()()()(3.0ABPABPBPABPAPBAPBAP所以1.0)(ABP9.0)(1)()(ABPABPBAP.82．eXPeeXPXPXP2)2(,)1()0()1(2由)2(4)1(XPXP知eee22即0122解得1，故161)3(eXP.3．设Y的分布函数为(),YFyX的分布函数为()XFx，密度为()Xfx则2()()()()()()YXXFyPYyPXyPyXyFyFy因为~(0,2)XU，所以()0XFy，即()()YXFyFy故1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它另解在(0,2)上函数2yx严格单调，反函数为()hyy所以1,04,14()()20,.YXyyfyfyy其它4．2(1)1(1)PXPXee，故2{min(,)1}1{min(,)1}PXYPXY1(1)(1)PXPY41e.5．似然函数为111(,,;)