毕业论文数学3

本科毕业论文题目：逼近法的相关研究学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级5班姓名：晁燕萍指导教师：许芝卉职称：副教授完成日期：2011年5月20日逼近法的相关研究摘要：逼近法是在各个学科中应用极广泛的分析论证方法,本文就逼近法中最重要的几种方法加以论述,即二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法,主要结合实例,介绍其分析论证的思想与方法.逼近法的应用和用法是非常广泛而多样的,最简明直观的是二分逼近法,它和实数连续性的配合运用,是分析论证微积分学中许多重要定理和基础问题的有力工具.逐次逼近法在各学科中也有广泛应用,本文就泛函分析中不动点的有关知识加以说明,此外,介绍了逐步逼近法在微分方程及其初等数论中的重要应用.关键词：逼近;二分逼近;逐次逼近;逐步逼近目录1引言...........................................................................................................................12二分逼近法..............................................................................................................11.2二分逼近法的典型证明方式.............................................................................................12.2二分逼近法在数学分析中的应用.....................................................................................23逐次逼近法以及在泛函分析中的应用..................................................................34逐步逼近法..............................................................................................................41.4逐步逼近法在微分方程中的应用.....................................................................................52.4一次同余式组的逐步逼近解法.........................................................................................81.2.4用剩余定理求解的方法.............................................................................................92.2.4逐步逼近法...............................................................................................................103.2.4两种解法计算量的比较...........................................................................................12参考文献.....................................................................................................................1311引言逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法,它遵循着这样一个简朴实用的原则,以简御繁,以“已知”去研讨“未知”.作为一个分析论证方法,它是这个原则的具体化、数量化.譬如,任一个无理数,都可用有理数去无限逼近它,使误差可以到任意小.又如,数列na以A为极限,其意即为用naaa,,,21去逐步逼近常数A.再如,从几何上看定积分,曲边梯形的面积是通过一系列阶梯形逼近计算而得到的.可见,数学的研讨分析中普遍地渗透着逼近法的思想.不只如此,在泛函分析、微分方程和初等数论中也有非常广泛的应用,.以下主要就二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法在不同学科中的应用加以论述.2二分逼近法1.2二分逼近法的典型证明方式二分逼近法在定理或问题分析论证中的思想是：欲找一个具有某一性质p的实数,则可以从一个具有相应性质P的闭区间出发,逐次二等分,得到一个始终保持P的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列,将具有性质p的实数“夹逼”出来,而实数的连续性则确保了此数的存在,使这种逼近不至于“逼”空.现将二分逼近法典型证明方式说明于下1）确定一个闭区间使其具有某一性质P.(P由性质p决定)2）逐次二等分得到闭区间列mmBA,,则所有的闭区间都具有性质P,且1221BBBAAAmm(亦可写成：mmBABABABA,,,,332211)从而得到左右夹逼数列mA与mB满足：021limlimmmmmmmmABAB3）由实数的连续性得到实数k,属于所有的闭区间,使k满足：i具有性质p.这是由于k属于所有的闭区间,被mA与mB左右夹逼,不妨形象的表示为：mmBkAm因而,k的任意小的邻域内kk,都包含mmBA,（m足够大）,于是kk,2具有P,故k具有性质p.iik是唯一的.事实上,若k不唯一,设kk,且满足mmBkA,mmBkA,则对任何m,mmAkBk,,得到mmABkk,而0limmmmAB,故kk,即k唯一.2.2二分逼近法在数学分析中的应用例1设在ba,上连续的单调递增函数xf满足:bbfaaf)(,)(,则存在),(bac,使ccf.证明令11,BbAa,将11,BA二等分,分点为211BA,若221111BABAf,则命题结论成立.若221111BABAf,则取22111,,2BABBA,若221111BABAf,则取22111,2,BABAA.逐次二等分区间,一般的对于区间mmBA,,若22mmmmBABAf,则命题结论成立;否则,若22mmmmBABAf,则取11,,2mmmmmBABBA,若22mmmmBABAf,则取11,2,mmmmmBABAA.从而得到两个夹逼数列mA与mB满足：i1221BBBAAAmm且0limmmmABiimmmmBBfAAf,3于是可知存在实数c,使mBcAmm,由于xf单增,所以mmBfcfAf,即:mmmmBBfcfAfA令ccfm,上述证明中,所求的数c具有的性质p:ccf,而构造的闭区间mmBA,具有性质P,则确定为mmmmBBfAAf,,从而得到夹逼数列,mAmB将c“逼出”.在不同问题的论证中性质p与相应的P是具体的,在不同的情况下,必须紧扣实际加以明确,这是正确应用二分逼近法成功论证的关键.二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具,是逼近法的最简明的形式之一,然而,逼近法的应用却更为广泛,在泛函分析,微分方程等数学分支中也都是一种有效的论证方法.下面通过介绍另一种逼近法来进一步体会这种方法的思想.3逐次逼近法以及在泛函分析中的应用逐次逼近法,是从一个粗糙的近似解出发,使用某个固定公式逐次加工,使之逐步精确化以得到满足精度要求的近似解.例2在完备度量空间中,压缩映射必有唯一不动点.证明设dXX,是完备的度量空间,T：XX是压缩映射,即对于任意Xyx,,不等式yxdTyTxd,,成立,其中是满足不等式10的常数.先证映射T有不动点.构造X中的序列nx.任取Xx0,并令010201201,,,xTTxxxTTxTTxxTxxnnn2,1n,我们证明nx是X中的基本点列,事实上,00101021,,,,TxxdxxdTxTxdxxd0022112132,,,,TxxdxxdTxTxdxxd4………一般地,可以证明001,,Txxdxxdnnn,3,2,1n于是,对自然数n与kn,由广义三角不等式得nnknknknknnknxxdxxdxxdxxd,,,,12110021,Txxdnknkn00,1Txxdknn00,1Txxdn对任何给定的0,只有n充分大,则01,1xxdn因而nx是柯西序列.又因X是完备的,柯西序列nx是收敛的,即存在Xx,使xxnnlim,再由于T是压缩映射,必为连续映射,于是.在nnTxx1中,令n,得到xxT即x是不动点.再证唯一性.若x不唯一,设不动点xx,则xxT,于是存在10使xxdxTxTdxxd,,,则必有0,xxd,故xx,则T有唯一的不动点.上述证明中,为找出不动点,我们利用压缩映射在完备空间中构造了一个柯西序列去逼近极限点,并证明极限点即为不动点,从而完成了将不动点“逼出”的过程.4逐步逼近法逐步逼近法也是逼近法中较为重要的一种论证方法,在各学科中都有广泛的应用.诸如在论证常微分方程解的存在唯一性定理、二项分布的一种新的计算方法、以及在5初等数论中关于一次同余式组的解法都起到非常重要的作用.此外,逐步逼近法在破解技术难题------袁隆平科技创新方面起到了举足轻重的作用.1.4逐步逼近法在微分方程中的应用在微分方程研究中,对于一阶或高阶的,显或隐的方程组的等各类方程,能求得精确解得并不多,因而方程的近似解又十分重要的实际意义的,而解的存在和唯一则是求近似解的前提和理论基础,且论证方法还提供了如何求近似解的途径.我们不妨以一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明再次体会逼近法的思想.由于定理证明过程较长,我们以突出逼近法思想为重点来简叙其过程.1）现在先简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想.首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程dxyxfyyxx0,0的连续解,再证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数x0代入上面积分方程右端的y,就得到函数dxxxfyxxx0001,显然x1也是连续函数,如果x1=x0,那么x0就是积分方程的解,否则,我们又把x1代入积分方程右端的y,得到dxxxfyxxx0102,如果x2=x1,那么x1就是积分方程的解,否则,我们继续这个步骤,一般地,作函数dxxxfyxxxnn010,1这样就得到连续函数序列,,,,10xxxn如果xxnn1,那么xn就是积分方程的解.如果始终不发生这种情况,我们可