毕业论文朱强

毕业论文2015届常微分方程中的变量代换法学生姓名朱强学号11135141院系数理信息学院专业数学与应用数学指导教师魏雪蕊完成日期2015年5月25日I常微分方程中的变量代换法摘要变量代换法是求解常微分方程的一种常用的方法，它能使问题化难为易、化繁为简，通过借助恰当的变量代换将微分方程简化为可解类型，求出其通解或者特解。变量代换法在求解常微分方程中有着十分广泛的应用，许多类型的方程求解依赖变量代换法方法来完成。变量变换法也是基于化归思想的一种方法。本文通过分析变量代换法在常微分方程中的应用出发，分类归纳总结了变量代换在几类常微分方程中的求解以及几类特殊的变量代换法，来体现变量代换法在微分方程求解的优越性。关键词常微分方程；变量代换法；解；应用IIVARIABLESUBSTITUTIONMETHODINCONSTANTDIFFERENTIALEQUATIONABSTRACTVariablesubstitutionmethodforsolvingordinarydifferentialequationsofacommonlyusedmethod,itcanmaketheproblemdifficulttoeasy,tosimplifybymeansofpropervariablesubstitutionpartialdifferentialequationsarereducedtosolution,obtainedthegeneralsolutionandparticularsolution.Variablesubstitutionmethodtosolveordinarydifferentialequationshasaverywiderangeofapplications,manytypesofequationsindependentvariablesubstitutionmethodtocomplete.Variabletransformationmethodisalsobasedonamethodoftransformingthought.Inthispaper,byanalyzingthemethodofvariablesubstitutioninordinarydifferentialequationintheapplicationof,andclassifiedinthispapersummarizesthevariablesubstitutioninseveralkindsofordinarydifferentialequationsolvingandseveralkindsofspecialmethodofvariablesubstitution,toreflectthevariablesubstitutionmethodsuperiorityinsolvingdifferentialequations.KEYWORDSordinarydifferentialequation;variablesubstitutionmethod;solution;applicationIII目录中文摘要....................................................................I英文摘要...................................................................II目录.....................................................................III引言......................................................................11．变量代换法的相关概念.....................................................11.1变量代换法的定义....................................................11.2变量代换法体现的思想................................................22．变量代换在解常微分方程的几种类型的应用...................................22.1一阶微分方程.........................................................22.1.1齐次方程.......................................................22.1.2分式线性方程...................................................42.1.3一阶线性微分方程...............................................52.1.4伯努利（Bernoulli）方程........................................72.1.5黎卡提（Riccati）方程..........................................82.1.6一阶隐式方程...................................................92.1.7一些特殊形式的方程............................................132.2高阶微分方程........................................................142.2.1高阶微分方程的降价............................................142.2.2变系数线性微分方程............................................163.微分方程中几类特殊的变量代换.............................................203.1常数变易法..........................................................203.2Laplace变换........................................................223.3特征函数法.........................................................234.变量代换法在解题中的优越性..............................................245.总结....................................................................25参考文献...................................................................25致谢.....................................................................261引言微分方程是一个或者几个联系着自变量，未知函数和它的某些导数之间的相互关系的等式。若未知函数的自变量只有一个，那么我们就称它为常微分方程。常微分方程在数学专业中具有一定的地位，同时它在经济、建筑、物理、工业等领域中都有着十分广泛的应用。微分方程的一个主要问题是“求解”，但是一般微分方程无法求解，只能通过对某些类型用相应的方法求解。在微分方程发展过程的早期，人们致力于寻求一阶微分方程的通解。一些大科学家，比如伯努利家族、高斯、欧拉、拉普拉斯和拉格朗日等，都参与了早期的微分方程求解工作，发明了许多解法，这些方法现被称为初等积分法。初等积分法，就是将微分方程的解通过初等函数或者它们的积分表示出来的方法。利用初等积分法可将常微分方程中的求解问题转化为一般的积分问题,它是一阶微分方程所有解法中的最基本解法。初等积分法包括分离变量法；变量代换法；常数变易法；积分因子法；引入参数法；凑全微分法。变量代换法往往跟分离变量法结合使用，在一阶微分方程中变量分离方程是一个最基本的类型,可以先进行分离变量再通过初等积分法来求它的通解。用初等积分法求解常微分方程的一般是进行一定的变量变换,把所给的方程转化为变量分离方程。它一种重要的数学思想方法，恰当运用变量代换法可以起到化繁为简、化难为易的效果。许多类型的一阶微分方程都可以通过适当的变量代换化为变量分离方程。如何寻找恰当的变量变换把给定的方程转化为变量分离方程,没有一般的方法，但对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有着固定的形式。此外，变量代换法在高阶微分方程求解中也有着广泛的应用。在许多教材中有关常微分方程的解法都有一定的归纳、概括和总结。很多常微分方程都很难解，运用恰当的变量代换可将方程简化并进一步求出其解，本文将对变量代换这种重要的方法进行系统的讨论和研究，阐明它在求解常微分方程中的重要性。1．变量代换法的相关概念1.1变量代换法的定义变量代换法，也叫变量变换法或者换元法，是通过用新的变量去替换原方程的变量，将原方程化成更加简单更容易求解的形式，从而达到求解目的的一种方法。在一阶微分方程中变量分离方程也是一种最基本的方程类型，通过变量代换变形等方法可将不同类型的一阶微分方程最终化为变量分离方程进而求解。步骤包括：（1）分离变量；2（2）对方程两边同时积分并整理成通解；（3）借助初始条件来求方程的特解。1.2变量代换法体现的思想变量代换法其实是基于化归思想的一种方法。所谓化归思想,是指在研究和解决数学问题时,通常是将复杂的问题通过一系列的变换转化为相对简单的问题，将难解的问题通过一系列的变换转化为相对容易求解的问题，将未解决的问题通过一系列的变换转化为已经解决的问题。从常微分方程发展的历程可以看出,化归是常微分方程的重要数学思想方法,常数变易法、变量代换法、逐步逼近法、算子法、级数解法等,它们都是用联系变化的观点把问题化难为易，化繁为简的化归方法。非齐次方程问题转化为齐次方程问题,一阶线性方程组转化为一阶线性方程问题,高阶方程问题转化为低阶方程问题。2．变量代换在解常微分方程的几种类型的应用2.1一阶微分方程2.1.1齐次方程如果函数,fxy是关于变量,xy的零次齐次函数，即对于tR满足,,ftxtyfxy,则我们称一阶常微分方程,dyfxydx为齐次方程。当0x时，齐次方程也可以表示为dyygdxx的形式。为求解齐次方程，我们引进新的未知函数yux，利用等式,dyduxudxdx,1,fxyfu可以把齐次方程化为等价的变量分离方程1,duxfuudx由于变量分离方程总是能用初等积分法求解的，因此齐次方程也是能够求解的。例1求解方程yxdyyedxx3解该方程是齐次方程。令yux，则,uduuxeudx得.udxedux积分得ln.uexC代回原变量得通解ln,yxexC其中C是任意常数.有些方程经过简单的变换后可以变成齐次方程，基本思想在下面的例题中介绍。例2求解方程625222.2dyyxdxxyxy解令,3,zy则22223.2dzzxdxxzx是齐次方程.令,zux，那么223.21duuuxdxu所以2621duuuxdxu如果260,uu则2216ududxuux积分得73ln3ln2ln,55uuxC即775533,.CuuCxCe4将3yux代入，得通解73331532,yxyxCx其中C为任