毕业设计5“跟踪控制器设计”阅读材料-WSC

1阅读材料5：跟踪控制器设计实际工作中，许多系统都存在确定性扰动，如阵风对雷达天线的扰动，海浪对船体纵摇或横摇的扰动，飞行体在大气中受到气浪的扰动等，确定扰动的函数形式如冲击函数、阶跃函数、斜坡函数、正弦函数等。此处只讨论确定性扰动。在诸如数控机床、导弹控制等实际控制中，常常要求闭环系统的输出以给定精度跟踪参考输入信号，实现精确的跟踪控制。例1（149P例5.4.1）被控对象为xyuxBuAxx)23(104310，设计状态反馈控制器使闭环极点为)54(，讨论闭环系统的稳态性能。解：被控对象为能控标准形，系统能控，系统开环传递函数的特征多项式为34431det)det(2ssssAsI)31(21，s（1-1）（1-1）式表明原开环系统极点为)31(21，s，原系统是稳定的。传递函数分子为01bsb，而xxbby)23()(103432)(2012010sssasasbsbsG（1-2）期望的闭环特征多项式为209)5)(4()(2sssssf（1-3）（1-3）式表明引入状态反馈控制器后，闭环系统也是稳定的，但性能有所改变。所要设计的状态反馈增益矩阵为)517()49320(K（1-4）所以，相应闭环系统状态矩阵为92010BKA（1-5）对应的闭环传递函数分母，即期望的闭环特征多项式209)(2sssf（1-6）分子仍然为01bsb，而xxbby)23()(1020932)(201201csssasasbsbsG（1-7）考察参考输入为单位阶跃函数)(1)(ttu，ssR/1)(，系统的稳态输出为2)(lim)(lim)(0ssYtyyst经典控制理论结论定义)0()()(lim0GsRssGs（∵1)(ssR）由（1-3）开环系统输出稳态值为1)0()(00Gy（1-8）说明开环系统可以精确跟踪单位阶跃输入，跟踪误差为0，该开环系统无静差（参见例5-9图1）。而由（1-8）闭环系统输出稳态值为15.0203)0()(ccGy（1-9）说明该系统闭环后静态绝对误差85.0)()(ctry；相对误差85%。系统闭环后不能精确跟踪单位阶跃输入（参见例5-9图2）。结果表明，极点配置尽管改善了闭环系统的动态特性，却使稳态性能变差了。此外实际系统还不可避免的存在随机扰动（只知道其均值、方差等统计特性）和确定性扰动（具有确定的函数形式）。渐近跟踪调节器设计方法以下针对外部阶跃扰动的线性时不变系统，提出一种能实现“无静差”跟踪参考输入信号的渐近跟踪调节器设计方法。考虑以下状态空间模型描述的m维输入、p维输出，)(td是n维扰动输入CxydBuAxx，（5-37）假定系统的参考输入是阶跃输入)(1)(0trtr，“窜入”系统输入的阶跃扰动为)(1)(0tdtd，控制的目的是在存在阶跃扰动)(td的情况下，仍希望闭环系统的输出)(ty能很好地跟踪参考输入)(tr。为此，定义误差向量例5-9图1开环系统单位阶跃响应（无静差）例5-9图2闭环系统单位阶跃响应（有静差）3)()()(trtyte（5-38）引入误差向量的积分)(tqd)()(0tetq（5-39）]d)(d)(d)([])()()([)(0020121tpttpTeeetqtqtqtq)()()()(trtCxtetq（5-40）在状态方程中，将积分器的输出选择为状态向量的分量，按此，也可以将“误差向量的积分)(tq”选为状态向量的分量，于是，综合（5-37）、（5-40）可得“增广系统”方程为qxCyrduBqxCAqx)0(000，（5-41）新的状态向量是pn维的。对系统（5-41），若能设计一个状态反馈控制器qKxKqxKKu2121)(（5-42）使增广的闭环系统（5-42）代入（5-41）rdqxCBKBKAqx021（5-43）是渐近稳定的，此时，矩阵021CBKBKA是非奇异的，可逆的。对（5-43）两边取Laplace变换，整理后得到)()(0)()(121srsdCBKBKAsIsqsx（5-44）由Laplace终值定理（参考输入sr0和外部扰动sd0都是阶跃信号）srsdCBKBKAsIssqsxstqtxsst//0lim)()(lim)()(lim00121044-50）（001210rdCBKBKA（注意0s，0sI）这表明)(tx、)(tq都趋于常值向量，因此)(tx、)(tq都必将趋于04)(lim)(lim0))()((lim)(limtrtytrtytqtttt（5-45）从而实现精确地跟踪控制。小结：对增广系统（5-41）设计一个稳定化状态反馈控制器（5-42），就可以保证系统输出跟踪阶跃参考输入，而且没有稳态误差。进一步，若增广系统是能控的，可以通过对增广系统的极点配置，使其具有一定的动态性能。定理5-5（152P定理5.4.1）增广系统（5-41）能控的充要条件为原系统（5-37）是能控的。且pCpmpnCArank,,00rank（证明略）将增广系统的控制器（5-42）写为teKxKu021d)(（5-46）它相当于一个比例积分“PI控制器”，第一项是原系统的状态反馈，而第二项是为了改善稳态精度而加的积分控制作用。根据增广的闭环系统（5-43）CxyterCxqdqBKxBKAx)()(21（5-47）（5-47）可以画出反馈控制的状态结构如图5-3。由上分析可知，对于一个多变量系统，尽管有一个不能测量（或未知）的阶跃扰动输入，仍可以设计一个控制器，使得闭环系统的输出无静差的跟踪阶跃参考输入。例2（155P例5.4.2）倒立摆的状态方程和输出方程为图5-3增广系统的状态反馈5uxBuAxx101001100100001000010，xCxy)0001(式中：TTyyxxxxx)()(4321—系统状态向量；y—小车的位移；y—小车的速度；—摆杆的角位移；—摆杆的角速度；u—作用在小车上的力。控制目标为：将倒立摆保持在垂直位置0，同时要求系统输出能跟踪一个阶跃输入信号，即要求小车移动一个单位距离，停在预定位置。要求调节时间为s5~4，最大超调为15%。解：利用（5-43）得到相应的“增广系统”模型，假设系统没有受到干扰0d。根据控制目标的性能要求，选择闭环极点为5313154321sssjsjs322)5](3)1[()(sssf希望125)75514)(2(232sssss500550335109172345sssss（1）应用（5-41）式ruqxrduBqxCAqx00000101000001001100010000010000010000（2）qxy)00001(（3）采用极点配置，基于增广系统设计控制器qKxKqxKKu2121)(qxxxxkkkkkqkxxxxkkkk43212413121112432141312111)()(6rqxxxxkkkkkqxxxxqxxxx0000)(0101000001001100010000010000010432124131211143214321rqxxxxkkkkkkkkkkqxxxx00000000000000000000000100110001000001000001043212141312112413121114321rqxxxxkkkkkkkkkk00000000111010001000104321214131211241312111skkskkkskkkksksCBKBKAsI000111010010001det0det21413121124131211121“-”下划线表示按该元素第1次展开，“=”下划线表示按该元素第2次展开。skkskkskkkkskkskkskkkkss001110101det000110101det2141311241311121413122413121141312413121211101detkskkskkkss141311413111214132413111101det11011detkskkskkkskkskskkk131231212141241213111detdetkkkksskskkkss711det111det4131214132skkkksksk11det111det413111141311skkskkskssk10)(10)(]10)11([])([2112221132142123sskskkkssskkss2112212313114142151010)10()11()(kskskkskkskks（4）比较（1）（4）两式可得5001055010335101201721121213111421kkkkkkkk5055.51755.3855214131211kkkkk与Matlab运行的结果一致（5）以下求闭环系统时，小车对单位阶跃输入的响应（输出）)(det10000)(det)()00001()()(151KKbKKKAsIbAsIAsIBAsICsG由（1）式322)5](3)1[()()(detsssfAsIK期望