定积分的几何应用

二、平面图形的面积三、体积§6.2定积分在几何学上的应用四、平面曲线的弧长一、元素法回顾曲边梯形求面积的问题badxxfA)(曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成。abxyo)(xfy一、元素法面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间],[ba分成n个长度为ix的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i个小窄曲边梯形的面积为iA，则niiAA1.（2）计算iA的近似值iiixfA)(iix（3）求和，得A的近似值.)(1iinixfAabxyo)(xfy（4）求极限，得A的精确值iinixfA)(lim10badxxf)(提示若用A表示任一小区间],[xxx上的窄曲边梯形的面积，则AA，并取dxxfA)(，于是dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxxdA面积元素当所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间ba,有关的量；（2）U对于区间ba,具有可加性，就是说，如果把区间ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量iU的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量U微元法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量U的元素且记作dU，即dxxfdU)(；3）以所求量U的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得badxxfU)(，即为所求量U的积分表达式.这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．[f上(x)f下(x)]dx,它也就是面积元素.二、平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成.因此平面图形的面积为在点x处面积增量的近似值为1.直角坐标情形dxxfxfSba)]()([下上.讨论：由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y)及上下两条直线yd与yc所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：面积为面积元素为[j右(y)j左(y)]dy,dcdyyyS)]()([左右jj.dxxfxfSba)]()([下上.dcdyyyS)]()([左右jj.(3)确定上下曲线2)(,)(xxfxxf下上.例1计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积.解(2)确定在x轴上的投影区间(4)计算积分[0,1];dxxfxfSba)]()([下上.dcdyyyS)]()([左右jj.(1)画图;(3)确定上下曲线2)(,)(xxfxxf下上.102)(dxxxS31]3132[10323xx.例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积.(2)确定在y轴上的投影区间(4)计算积分(3)确定左右曲线[2,4].dxxfxfSba)]()([下上.dcdyyyS)]()([左右jj.解(1)画图;4)(,21)(2yyyy右左jj.422)214(dyyyS18]61421[4232yyy.例3求椭圆12222byax所围成的图形的面积.例3因为椭圆的参数方程为xacost,ybsint,所以解椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.aydxS04.于是aydxS0402)cos(sin4tatdbydx,椭圆在第一象限部分的面积元素为022sin4tdtab20)2cos1(2dttababab22.aydxS0402)cos(sin4tatdb022sin4tdtab20)2cos1(2dttab•曲边扇形•曲边扇形的面积元素曲边扇形是由曲线j()及射线,所围成的图形.•曲边扇形的面积2.极坐标情形jddS2)]([21.jdS2)]([21.例4计算阿基米德螺线a(a0)上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解解202)(21daS32203234]31[21aa.解202)(21daS32203234]31[21aa.解202)(21daS32203234]31[21aa.例5计算心形线a(1cos)(a0)所围成的图形的面积.解解02]cos1([212daS02)2cos21cos221(da20223]2sin41sin223[aa.曲边扇形的面积：jdS2)]([21)),((j.三、体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.1.旋转体的体积旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.1.旋转体的体积•旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,•旋转体的体积于是体积元素为dV[f(x)]2dx.dxxfVba2)]([.例6连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.旋转体的体积：解dxxfVba2)]([.解直角三角形斜边的直线方程为xhry.dxxhrVh20)(hxhr0322]31[231hr.hxhr0322]31[231hr.aaaadxxaabdxyV)(22222解解旋转椭球体可以看作是由半个椭圆22xaaby及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.旋转椭球体的体积为旋转体的体积：dxxfVba2)]([.例7计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.12222byaxaaxxaab]31[3222234ab.aaaadxxaabdxyV)(22222aaxxaab]31[3222234ab.设立体在x轴上的投影区间为[a,b],立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).立体的体积元素为立体的体积为2.平行截面面积为已知的立体的体积dxxAVba)(.A(x)dx.截面面积为A(x)的立体体积：例9一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角.计算这平面截圆柱所得立体的体积.建立坐标系如图,则底圆的方程为x2y2R2.所求立体的体积为dxxAVba)(.解tan)(21)(22xRxA.dxxRVRRtan)(2122RRxxR]31[tan2132tan323R.RRxxR]31[tan2132tan323R.立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形,其面积为四、平面曲线的弧长设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出,其中f(x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧的长度.在曲率一节中,我们已经知道弧微分的表达式为这也就是弧长元素.因此,曲线弧的长度为dxyds21.badxys21.•直角坐标情形例1计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的例11长度.因此,所求弧长为解曲线yf(x)(axb)的弧长：badxys21.解21xy,从而弧长元素dxxdxyds112.babaxdxxs])1(32[123])1()1[(322323ab.babaxdxxs])1(32[123])1()1[(322323ab.babaxdxxs])1(32[123])1()1[(322323ab.设曲线弧由参数方程xj(t)、y(t)(t)给出,其中j(t)、(t)在[,]上具有连续导数.于是曲线弧的长为曲线yf(x)(axb)的弧长：badxys21.•参数方程情形因为)()(ttdxdyj,dxj(t)dt,所以弧长元素为dtttdttttds)()()()()(12222jjj.jdttts)()(22.dtttdttttds)()()()()(12222jjj.因为)()(ttdxdyj,dxj(t)dt,所以弧长元素为曲线xj(t)、y(t)(t)的弧长：例12求摆线xa(sin),ya(1cos)的一拱(02)的长度.解于是所求弧长为曲线yf(x)(axb)的弧长：badxys21.jdttts)()(22.弧长元素为daads2222sin)cos1(da2sin2.202sin2das20]2cos2[2a8a.daads2222sin)cos1(da2sin2.20]2cos2[2a8a.微元法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）五、小结旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周x绕轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式