定积分在几何学上的应用

四、旋转体的侧面积(补充)二、体积第二节一、平面图形的面积三、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用第六章xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积badxxfA)(曲边梯形的面积badxxfxfA)]()([121.直角坐标系情形xxxdxxdx一、平面图形的面积例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素dxxxdA)(2选为积分变量x]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx例计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy选为积分变量x]3,2[x],0,2[)1(xdxxxxdA)6(231],3,0[)2(xdxxxxdA)6(3222xyxxy63于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？x例2计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[ydyyydA242.1842dAAxy224xy如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积.)()(21ttdtttA（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(tx具有连续导数，)(ty连续.abxoyx例3.求椭圆解:利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得202dsin4ttbaba4212ba当a=b时得圆面积公式xxd例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.)cos1(tadA解:ttad)cos1(ttad)cos1(2022ttad2sin42042)2(tu令uuadsin8042uuadsin16204223a20Axyoa22.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.()xd在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:dd)(212a20A22a331022334a点击图片任意处播放开始或暂停到2所围图形面积.例6求双纽线2cos22a所围平面图形的面积.解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AAdaA2cos214402.2axy2cos22a1A例7求心形线(1cos)a所围平面图形的面积)0(a.解dadA22)cos1(21利用对称性知.232add2)cos1(02212aAd)coscos21(202a2sin41sin2232a02coscos21)2cos1(21aa2oxyd)cos1(2122a例.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,2221aA2221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、体积1.旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfyy例8连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．r解hPxhry取积分变量为x，],0[hx在],0[h上任取小区间],[dxxx，xo直线方程为OP以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为dxxhrdV2圆锥体的体积dxxhrVh20hxhr03223.32hryrhPxoayxb例.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xyd2x方法2利用椭圆参数方程则xyVad202ttabdsin23222ab32234ab1特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积.343aaaoyx例9求星形线323232ayx)0(a绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay332322xay],[aax旋转体的体积dxxaVaa33232.105323a类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyy2)]([dcV例10求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱与0y所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.解绕x轴旋转的旋转体体积dxxyVax)(2202022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta.532aa2a)(xy绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.dtyxVay)(2202dtyxa)(2201oyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx222sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta2023sin)sin(tdttta.633a补充如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay|)(|2利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|22020)]sin([)cos1()sin(2ttadtatta2023)cos1)(sin(2dtttta.633aox12yBC3A例求曲线132xy与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(94考研)解:利用对称性,y10x,22x21x,42x故旋转体体积为V432xxd)]2(3[21022xxd)1(2361022xxd)1(22122xxd)1(2202215448在第一象限xxd)]4(3[22122例设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0xxfttd)(20xxfxtd)(20xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV故例求由曲线24xy及0y所围成的图形绕直线3x旋转构成旋转体的体积.解取积分变量为y,]4,0[y体积元素为dyQMPMdV][22dyyy])43()43([22,412dyydyyV40412.643dyPQM2、已知平行截面面积函数的立体体积设定轴为x轴，所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabx)(xA上连续,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.例11一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.RRxyo解取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形x截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323R例12求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解取坐标系如图底圆方程为,222RyxxyoRx垂直于x轴的截面为等腰三角形截面面积22)(xRhyhxA立体体积dxxRhVRR22.212hRxoy0MAnMB1M2M1nM设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni,,,,,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长||11niiiMM的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长.三、平面曲线弧长定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.并称此曲线弧为可求长的.设曲线弧为)(xfy)(bxa，其中)(xf在],[ba上有一阶连续导数xoyabxdxx取积分变量为x，在],[ba上任取小区间],[dxxx，以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小切线段的长22)()(dydxdxy21弧长元素dxyds21弧长.12dxysba1、直角坐标情形曲线弧为,)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长.)()(22dttts2、参数方程情形曲线弧为)(()其中()在],[上具有连续导数.()cos()sinxy)(22)()(dydxds22()(),d弧长22()().sd3.、极坐标情形例13计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323abab例14求星形线的全长.33cossinxatyat)20(t解星形线的参数方程为taytax33sincos)20(t根据对称性14ssdtyx20224dttta20cossin34.6a第一象限部分的弧长例15.摆线一拱的弧长.解:tstytxd)()(d2dd2dd)cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2例16求阿基米德螺线a)0(a上相应于从0到2的弧长.解,ar22()()sd.)412ln(412222a20daa22220ad12例证明正弦线xaysin)20(x的弧长等于椭圆taytxsin1cos2)20(t的周长.证设