3.2.1立体几何中的向量方法(平行和垂直)

3.2.1立体几何中的向量方法——方向向量与法向量如图,l为经过已知点A且平行于非零向量a的直线,那么非零向量a叫做直线l的方向向量。lAPa１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量APta一、方向向量与法向量2、平面的法向量AalP平面α的向量式方程0aAP换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为___________(2)平面OABC的一个法向量坐标为___________(3)平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)例2.在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.总结:如何求平面的法向量⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),11(0,,)22PE依题意得DB(1,1，0)11(0,,)22DEDB=(1,1，0)XYZ设平面EDB的法向量为(,,1)nxy,nnDEDB则1101,1,1220ynxy于是因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决几何问题二、立体几何中的向量方法——平行关系设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(1)//lm//abab；mlab一.平行关系：a设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则uαaAC②∥axAByAD③(2)//l①au0au；vuαβ设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(3)//①//uv.uv例1.用向量方法证明定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行已知直线l与m相交,,,lm,lm∥∥.求证∥l,ma,,.bv证明取的方向向量取,的法向量u,lm∥∥,avbvvuαβab,,b又a不共线所以v是的一个法向量于是v同时是、的一个法向量.∥ｌｍ例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE=(-3,3,3),FG=(-2,2,2)32AE=FGAE//FG证：如图所示,建立空间直角坐标系.//AEFGAE与FG不共线几何法呢？例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立体几何法ABCDPEXYZG解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG(1,0,0),(0,0,1),11(0,,)22APE依题意得G11(,，0)2211(1,0,1),(,0,)22PAEGEGPAEGPA//2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA平面所以，//ABCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：11(1,0,0),(0,0,1),(0,,),22APE依题意得B(1,1，0)(1,0,1),PAPAEDB而平面EDBPA平面所以，//11(0,,)22DEDB=(1,1，0)设平面EDB的法向量为(,,1)nxy,nnDEDB则1101,1,1220ynxy于是0PAnPAnABCDPEXYZ解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：11(1,0,0),(0,0,1),(0,,),22APE依题意得B(1,1，0)(1,0,1),PAPAEDB而平面EDBPA平面所以，//11(0,,)22DEDB=(1,1，0)PAxDEyDB设解得x＝－２,ｙ＝１2PADEDB即PADEDB于是、、共面ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBDANAE，//MNCDE平面练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：2133DCDEMNMDDEEN证明2233DBDEEA22()()33DADCDEDADEABCEFDMNMNDCDE所以、、共面//MNCDE故平面MNCDE但平面几何法呢？三、立体几何中的向量方法——垂直关系(1)lm0abab二、垂直关系：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则lmab设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(2)l//auaulauABC设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则3（）0uvuvαβuv例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.BDCAMN证1立几法例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.BDCAMN证2MAADDNＭＮ＝1122ABADDC11()22ABADACAD111222ABACAD111()0222MNABABACADABMN⊥AB,同理MN⊥CD.例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.BDCAMN证3如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.xyZxy(0,0,0)B(0,2,0)D(3,1,0)C326(,1,)33A316(,,)623M33(,,0)22N练习棱长为a的正方体中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：''''CBAOOABCO’C’B’A’OABCEFZ11AFOExy解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.1(,,)Aaaa(0,,0)Fab1(0,0,)Oa(,,0)Eaba1(,,)AFaba1(,,)OEabaa110AFOE11AFOE1AFOE１ABCDPEFXYZ-,,,,,.(2):.PABCDABCDPDABCDPDDCEPCEFPBPBFPBEFD例2.四棱锥中底面是正方形底面点是的中点作交于点求证平面证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.)1,1,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB所以,,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以ABCDPEFXYZ-,,,,,,:.PABCDABCDPDABCDPDDCEPCEFPBPBFPBEFD例2.四棱锥中底面是正方形底面点是的中点作交于点求证平面证2：A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F1111DCBAABCD练习正方体中，E、F分别平面ADE.证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，1,DADCDD以，1(1,0,0)(1,1,,)2DADE，11(0,,1)2DF00DADE１１则ＤＦ，ＤＦ所以1DFADE平面DADE１１则ＤＦ，ＤＦ．A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F1111DCBAABCD练习正方体中，E、F分别平面ADE.证明2：,E是AA1中点，1111DCBAABCD例3正方体平面C1BD.证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0,1)EB(0,2,1)ED设平面EBD的一个法向量是(,,1)uxy0uEBuED由11(,,1)22u得1(1,1,1)vCA0,uv平面C1BD.平面EBD证明2：E,E是AA1中点，1111DCBAABCD例3正方体平面C1BD.求证：平面EBD-,,,,:PABCDABCDPDABCDGPB练习四棱锥中底面是正方形底面是上的点求证平面GAC平面PDBABCDPXYZG3.2.4立体几何中的向量方法——夹角问题夹角问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则lamb(1),lm的夹角为，coscos,ablamb夹角问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(2),l的夹角为，sincos,auuπcos(-θ)=cosa,2uπcos(+θ)=cosa,2ulaula夹角问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(3),的夹角为，uvcosθ=cos,uv夹角问题：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(3),的夹角为，uvcosθ=cos,uvxyz解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD11(,0,1),2AF111(,,1)22DB11cos,AFBD1111||||AFBDAFBDA1AB1BC1C1D1F30=.10所以与所成角的余弦值为1BD1AF30100111111111111,,90RtABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFDB例中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点、，求与所成的角的余弦值.0111111111111,,90RtABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFDB例中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点、，求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解2练习空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求AD与BC所成的角大小.1AB解设ADABBCCD2222222ADABBCCDABBCBCCDABCD11100142AD()1ADBCABBCCDBCcos,1/2ADBC例：的棱长为1.111.BCABC求与平面所成的角的正弦值解1建立直角坐标系.11(010)则，-，，BCB11平面ABC的一个法向量为D=(1，1，1)1110103cos313