3.2立体几何中的向量方法

一、空间点、线、面的向量表示1、在空间中，取定点O作为基点，可以用什么方法表示空间任意一点P与点O的相对的位置？OP向量称为点P的位置向量OPAPa2、过空间一点A可以作无数条直线，其中以某非零向量a为方向向量的直线有几条？如何用向量表示？APta3、过空间不同两点A、B的直线如何用向量式表示？ABPAPtAB5、若直线l⊥平面α，a为直线l的方向向量，则向量a叫做平面α的法向量，如何用向量形式表示过点O且法向量为a的平面α内的点P的位置？OPαab4、设过点O的两条相交直线确定的平面为α，如何用向量形式表示平面α内的点P的位置？OPxaybαOPal0OPanlA如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnn1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nmnm二、平面的法向量问题：如何求平面的法向量？),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4((2,2,1),(4,5,3),ABACABC例2：已知求平面的其中一个法向量。nxyz解：设平面的法向量为（，，），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz则，（，，），（，，）220,4530xyzxyz即1121xzy取，得1(,1,1),2n注意：一个平面有多个法向量，一般令其中一个坐标为0在棱长为1的正方体中，求平面的法向量。1111ABCDABCD1ACDABCDxyA1B1C1D1z图1证明线线垂直的方法共面垂直异面垂直1.勾股定理（提供线段长）2.等腰三角形的三线合一3.菱形、正方形对角线相互垂直4.直径所对的圆周角是直角线面垂直aa,bacbca∥一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．balAalblαaαbAbaαl直线与平面垂直判定定理判定定理线线垂直线面垂直blαbαl定义设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则l∥ma∥bakb；∥u∥v.ukv线线平行面面平行三、平行关系设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则线线垂直⊥u⊥v.0vul⊥ma⊥b0ab；面面垂直四、垂直关系1.异面直线所成的角是怎样定义的？2.直线和平面所成的角是怎样定义的？①寻找垂线AO②斜足B，垂足0，射影BO③斜线AB和射影BO所成的角∠ABO就是线面角①证明a'∥a②a'和b所成的锐角或直角为所求0,20,2lOAB3.“二面角是怎样定义的？求二面角大小：①寻找平面角②证明两边分别垂直于棱③两边夹角为二面角的平面角二面角的平面角的三个特征:1.顶点在棱上2.边在面内3.两边都与棱垂直lamb，的夹角为ml,||||||cosbabalamb一、异面直线所成的角]2,0(πθ例1090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBDA1AB1BC1C1D1F11304.105342所以与所成角的余弦值为1BD1AF3010ula，的夹角为,l||||||sinuauaθula二、直线与平面所成的角]2,0[πθ例2：在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA1112,为上的一点,且MBCBM1点在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8,4),AD（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,ADAD255与平面所成角的正弦值是ADANM255简解：1111(1)由知，又，所以平面所以是平面的法向量。ADAMADANAMANAADAMNADAMN所以~~~~练习：1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(000)A，，，1(101)B，，，(110)C，，，设正方体棱长为1，1ABADAA，，为单以1(101)(110)ABAC，，，，，1(111)C，，，11(010)BC则，，，1()ABCnxyz设为，，平面的法向量100nABnAC则，0=10==-1xzxyn=(1-1-1)，，，，，，xyz所以取得故位正交基底，可得110103cos313nBC，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC，的夹角为,||||||cosvuvu三、二面角例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB(2)求证：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF平面ABCD，ABCDS1.如图所示，四边形ABCD是直角梯形，90ABCSA,21,1,ADBCABSA求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=，SA=SB=.(1)求证(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。045ABC223.SABCSABCDOxyz3.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。3DBACEPxzy(0,0,1),(3,0,1),(3,1,0)APDPDEm(,,),,,30,3,(3)0,(3),PDEnxyznDPnDExzzxmxyymx设平面的法向量为则解得1,(1,3,3),xnm令得2345sin45,4(3)PAPDEm与平面所成角的大小为32323245mmBEPAPDE解得或（舍），因此，当时，与平面所成角的大小为。解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(0,0,1),(3,0,0),(,1,0),APDEm设BE=m，则小题方法：用基向量法求二面角例2（课本p106）如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcdABCD图分析：库底与水坝所成二面角为DBCA解：如图，.dABcCDbBDaAC，，，化为向量问题DBCDACAB进行向量运算222)(DBCDACABd)(2222DBCDDBACCDACBDCDABABCD图DBACbca2222DBCAbca2222于是，得22222dcbaDBCA设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。CADB因此.cos22222dcbaab所以.2cos2222abdcba回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba1、立体几何中的向量方法的“三部曲”：用空间向量表示立体图形中的点、直线、平面等元素进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系以及它们之间的距离和夹角。把运算结果“翻译”成相应的几何意义。2、解决立体几何问题常用方法：综合法向量法坐标法已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC（2）求二面角的余弦值1111DCBAABCD1DDOB1CMAB1B1A1C1D1DCBAOM求二面角的余弦值当时，.2.正三棱柱中，D是AC的中点,1.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,求二面角A-PB-C的余弦值.111ABCABC11ABBC1DBCCCADBC1B1A1如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值(2)OS与面SAB所成角的余弦值(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz【课后作业】例4、(2004，天津)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。(1)证明：PA//平面EDB；(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。【典例剖析】ABCDPEGxyz空间“距离”问题1.空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),,(zyxa2.点到面的距离：等体积法和向量法例1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设BADADAAAB，116011DAABAA化为向量问题依据向量的加法法则，11AAADABAC进行向量运算2121)(AAADABAC)(2112122AAADAAABADABAAADAB)60cos60cos60(cos21116所以6||1AC回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。1AC6如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP与n不共线,能否用AP与n表示d?分析:过P作PO⊥于O,连结OA.则d=|PO|=||cos.PAAPO∵PO⊥,,n∴PO∥n.∴cos∠APO=|cos,PAn|.∴d=|PA||cos,PAn|=|||||cos,|||PAnPAnn=||||PAnn.nAPO点P为平面α外一点,点A为α内任意一点,为平面α的法向量,则点P到平面的距离为:||||nPAdnnAPOn用向量法求点到平面的距离例2:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.DABCGFExyzDABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),EFEG设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyznEFnEG，|BE|211.11ndn2202420xyxyZ