气体流动中的声源.

气体流动中的声源第一节古典声学回顾1、齐次波动方程22220ct2、波动方程的解一维波动方程222220ctx的通解由著名的达朗贝尔公式给出：()()fxctgxct2222222xyz2222221()rrrrrz22222222111()(sin)sinsinrrrrrr有源波动方程由下式描述：2222(,)hxtct是一般的声源x是一般的空间变量我们可以把该方程的解看作是系统对输入(,)hxt的响应或输出。由波动方程是线性的事实即知该系统也是线性系统。我们知道，线性系统对一般输入的响应就是线性系统对脉冲输入的响应的卷积。于是，若(,)Gxt是脉冲输入的响应(称为波动方程的基本解)，即满足方程2222()()xtct2011/10/102TheAcousticSourcesofFlow则解为(,)(,)(,)xthyGxytdyd对于三维空间中无边界的自由波（free-spacewaves），1||(,)()4||xGxttxc331||(,)(,)()4||||(,)14||xyxthytdydxycxyhytcdyxy代入通解式则解的形式体现了空间上的卷积和时间上的延迟。问题：这里时间与空间的效应已不再对称，虽然方程形式对时空都是二次导数的作用，如何解释？2011/10/103TheAcousticSourcesofFlow第二节、理想气体流动的声源1、Lighthill理论23January1924–17July1998生平简介初，在剑桥大学三一学院国家物理实验室工作,1946-1959年转入曼彻斯特大学,在那里,他发表了两篇气动声学奠基性的两篇文章(1952,1954),1969年成为剑桥大学三一学院卢卡斯数学教授,直到1979年由霍金继任.他探索过许多领域,包括二维翼型，超音速流动，特别是在气动声学和人工智能领域做了开创性工作。声明：为方便起见，我们采用爱因斯坦记号：iiiiiabab质量守恒方程（或连续性方程ContinualEquation）：()0iiutx动量方程（MomentumEquation）:()()iijijjjuuuptxx（2.2）ijp是应力张量下面我们来推导他工作的出发点——Lighthill波动方程。（2.1）2011/10/105TheAcousticSourcesofFlow222()0iiuttx222()()iijijiijijuuupxtxxxx再在动量方程两端作用散度算子，我们只需将连续方程对时间求导两者相减，得222()ijijijuuptxx222222002()()()ijijiiijiiccuuptxxxxxx为凑出波动算子2011/10/106TheAcousticSourcesofFlow0c是无扰流动时的声速，在忽略温度差（即热传导）时可认为处处相等因为20cRT考虑ijijijpp其中p为静应力，为粘性应力ij22222002[()]ijijijcuupctxx则20()ijijijTuupc记称作Lighthill应力张量方程可视为在应力张量ijT为声源的古典波动方程，由此引出Lighthill相似律实际流动中湍流发出的声音等价于静态声介质在Lighthill张量作用下发出的声音。2011/10/107TheAcousticSourcesofFlow由上节结果，带声源的波动方程解2300230||(,)114||||(,)14||ijijijijxyTytcdyyyxyxyTytcdyxxxy331||(,)(,)()4||||(,)14||xyxthytdydxycxyhytcdyxy可得Lighthill波动方程的解2011/10/108TheAcousticSourcesofFlow下面我们对Lighthill应力张量的组成进行分析（1）ijuu此项揭示了湍流产生噪声的事实，因为若将速度作如下分解:'iiiuuu第一项代表平均速度，第二项代表脉动速度。假设背景流动均匀，即222()('')()2ijijijijijijuuuuuuxxxxxx2()0ijijuuxx则有20()ijijijijTuupc2011/10/109TheAcousticSourcesofFlow222()('')()2ijijijijijijuuuuuuxxxxxx等式右端第一项反映了“紊流-紊流”形式的相互作用，该项确定紊流的“固有”噪声，第二项反映了“平均速度与脉动速度”的相互作用，为“移动”噪声源（2）20pc主要刻画热效应回顾：任何一个热力学参量可有两个热力学变量确定我们取熵和密度为变量,将压强在平衡位置（未扰动状态）处展开223000021()()()()(())2ssppppO200()(())pssOsss2011/10/1010TheAcousticSourcesofFlow23000(1)()(())2CCO原式200()(())(1/)sTssOss考虑到等熵公式pC此项用到了热力学中的Maxwell’s关系：(1/)spTs00(1())CO原式2200+()(())sTssOss0()()sp2011/10/1011TheAcousticSourcesofFlowpRT1CRTpC222(1)sTCR(1)CR(1)(1)pTR对第二项，应用等熵关系和理想气体状态方程带入到原式，得00200=()()(1())+(1)()(())spOTssOss原式2011/10/1012TheAcousticSourcesofFlow第一项用到了22000201ppvMppc第二项则采用了记号0=sss22000==()(1())ppcOM原式2(1)()TsOs于是，我们得到：22220000002()()(1)()pcpccOMTsOs由热力学关系：Tsq其中，q是单位体积质量吸收的热量此项刻画了热传导或热辐射效应2011/10/1013TheAcousticSourcesofFlow若流动均匀2000pc在空间导数下消失，2()1OMijuu量级之比为于是在低马赫数下起主导作用的是热传导项Ts（3）ij粘性作用，对声音起削弱作用，但在远离壁面时作用很小（因为雷诺数小），与相比可忽略。ijuu22220000002()()(1)()pcpccOMTsOs所以第二项刻画了绝热（即等熵）压缩（或膨胀）过程的热效应因马赫数与流体压缩性有关2011/10/1014TheAcousticSourcesofFlow对Lighthill张量分析的结论一、Lighthill张量揭示了紊流、热效应及粘性应力作为潜在声源（粘性应力张量可作为吸声源）的可能。20()ijijijijTuupcijT二、在忽略粘性（大雷诺数）以及热效应（小马赫数和等熵）情形下，Lighthill张量很好地刻画了紊流的发声机制。三、Lighthill张量没有显明地揭示涡度的声发射机制，我们接下来就来推导气动声学另一个基本方程，来说明涡度对声发射的作用。2011/10/1015TheAcousticSourcesofFlow我们用算符形式重新写出连续方程和动量方程0DVDt连续方程此处用到随体导数()DVDtt动量方程：()VpVVtDVpDt或2011/10/1016TheAcousticSourcesofFlow我们再考虑能量方程，即热力学第一定律1duTdsPdu是内能用焓huP来表示，则有1dhTdsdP若流动是等熵过程，有0DsDt还可改写为以下等价形式：1hTsp1DhDsDpTDtDtDt或2011/10/1017TheAcousticSourcesofFlow为突出涡度的声源地位，我们略去粘性效应并假设流动为等熵。做了上面的准备工作后，就可以开始我们的推导：联立1hTsp()VpVVt消去1p并注意到等式2211()()22VVVVVVV其中为涡量V得到VVBTst2011/10/1018TheAcousticSourcesofFlow其中212BhV称作总焓。下面我们将推导以B为状态变量的波动方程。2211122DDhDDpDBVVDtDtDtDtDt首先，我们考虑总焓的随体导数第二个等式用到了等熵条件0DsDt等式的右端项还可以继续简化，事实上，在动量方程22111()()22VVVVpt()VpVVt两端同时点乘以速度V，得到2011/10/1019TheAcousticSourcesofFlow即211()02DVpVDt22111()()22VVVVpt2112DDpDBVDtDtDt带入方程得到1DpBDtt2211DDDpBDtcDtDtct于是有2011/10/1020TheAcousticSourcesofFlow又之前我们曾得到VVBTst在上式两端取散度，移项后有2()BdivTsVVt上式与2211DDDpBDtcDtDtct联立，相减得到22211()DDDpBBdivVTsVDtcDtDtctt2011/10/1021TheAcousticSourcesofFlow22211()DDDpBBdivVTsVDtcDtDtctt我们希望将显式地体现热效应的项归并于总焓中，以突出涡度的作用，为此，我们试图约去右端第一项。2dpdppcpttt利用等熵关系pC两边取对数后，再微分于是，右端第一项211DpDDtctDtt(*)2011/10/1022TheAcousticSourcesofFlow0DVDt由连续方程得到1DVttDt(**)将（*）和（**）式代入到原波动方程得到下式22111()DDDDBBdivVTsDtcDtDtttDt可以证明，211DDVpDtttDttc2011/10/1023TheAcousticSourcesofFlow1111()()[()]VVttttt11()()[()]VVtt