气轨上研究简谐振动

气轨上研究简谐振动指导教师：王亚辉实验团队：袁维，李红涛，苗少少（陕西理工学院物理与电信工程学院物理系，汉中，723000）摘要在气轨导体上观察简谐振动现象，测定简谐振动的周期，观察简谐振动系统中的弹性势能和动能之间的相互转化，测定和计算它们之间的数量关系。关键词气垫导轨简谐振动劲度系数粘滞阻力Ⅰ.实验原理当气垫导轨充气后，在其上放置以滑块，用两个弹簧分别将滑块和气垫导轨两端连接起来，如图1.（a）所示。选滑块的平衡位置为坐标原点O，将滑块由平衡位置准静态移至某点A，其位移为x，此时滑块一侧弹簧被压缩，而另一侧弹簧被拉长，如图1.（b）所示。图1若弹簧的弹性系数分别为k1，k2，则滑块受到的弹性力为F=－（k1+k2）x(1)式中，负号表示力和位移的方向相反。由于滑块与气轨间的摩擦力极小，故可以略去。滑块仅受到在x方向的恢复力即弹性力F的作用，这时系统将做简谐振动，其动力学方程为F=－（k1+k2）x=m22xddt(2)令ω2=mkk21，则方程改写为22xddt+ω2x=0这个常系数二阶微分方程解为x=cos(ω+φ)(3)式中，ω称为角频率，简谐振动的周期为T=2122kkm将式（3）对时间求导数，可得滑块运动的速度为V=)sin(dxtAdt(4)由于滑块只受弹性力（保守力）作用，因此系统振动过程中机械能守恒。设滑块在某位置x处的速度为v，则系统在该位置处的总能量应为E=EP+EK=21(k1+k2)x2+21mv2(5)把式（3）和式（4）代入式（5）有E=21(k1+k2)A2cos2(ωt+φ)+21mω2A2sin2(ωt+φ)又ω2=mkk21k1+k2=ω2m故E=21mω2A2=21(k1+k2)A2(6)式中，m,k1,k2及A都是常量。它说明尽管振动过程中动能、势能不断随时间变化，但其总量保持不变。实验中若将滑块移至A点并作为起始点，初速度v=0，位移xmax==A,则该点处动能为零，系统总能量即为弹性势能E=1/2（k1+k2）A2;当滑块运动到平衡位置O点时，位移x=0而速度有最大值vmax，该点处势能为零，系统总能量全部转化为动能即E=1/2mv2max。因此，只要测出起始位置的最大位移或平衡位置O点的滑块速度，即可算出振动系统的总能量E.而在振动过程中其他任一位置的动能和势能之和总等于E。Ⅱ.实验仪器气垫导轨及其附件，计速计时测速仪，电子秤，尼龙细线，两个弹簧等Ⅲ.实验步骤1.实验观察（1）观察本实验中振动现象，指出滑块在何处受力最大，何处受力最小；何处速度最大，何处速度最小；何处加速度最大，何处加速度最小。（2）仔细观察滑块振动的振幅有无衰减，分析其原因。（3）若将气垫导轨由水平改为倾斜状态，观察滑块的振动，此时与水平振动有无区别？振动周期是否相同？是否为谐振动？试写出振动方程。2.测量弹簧的弹性系数（1）打开数字毫秒计电源开关，拨至T档。气轨充气后，把滑块置于气轨上并将导轨调成水平。（2）如图2将被测弹簧系于导轨和滑块之间，滑块再通过尼龙细线绕过气垫滑轮吊一砝码盘，盘内加上45g砝码使弹簧预先伸长，记下滑快位置x1，然后依次加20g，40g，60g的砝码并分别记下滑块的位置x，把数据计入表1。（3）改换第二根弹簧重复（2）的内容，测出弹性系数是k2。3.测简谐振动的周期（1）用已知弹性系数的两根弹簧及滑块m构成力学谐振动系统。将数字毫秒计拨至“手动”复位，然后使滑块从平衡位置向右（或向左）移动x1cm，放手后仔细观察系统的运动情况并用数字毫秒计记下滑快完成10次全振动所用的时间。将数据记录入表2。（2）改变初始位移（即振幅）分别为x2,x3,重复（1）的内容，最后计算出谐振动周期的平均值_T。4.测振动系统的能量（1）将数字毫秒计选择开关拨至T档和自动复位，把一光电门移至系统平衡位置x0处，另一光电门距x0点约20cm的x1处，给滑块m一适当的初位移，然后放手，滑块开始振动，记录滑块通过光电门时的速度v，并将x，x1的值记入表3中。（2）给滑块不同的初位移x’，x’’，重复（1）的内容。（3）用天平称出滑块连同弹簧的质量，计算系统在x，x0，x1各位置处的势能、动能、总机械能并加以比较。5.将气垫导轨由水平改为倾斜状态，重复3、4的步骤，完成表格4、5。实验数据M砝码盘=20.2gmk1=12.4gmk2=12.1gm小车=174.5g表1测弹簧弹性系数弹簧初始位置x1/m加砝码后的位置x/m伸长量（x-x1）/m弹性系数k=mg/（x-x1）(N/m)—kN/m136.0×10-220g45.6×10-29.6×10-22.0832.09740g55.1×10-219.1×10-22.09460g64.4×10-228.4×10-22.113226.7×10-220g32.6×10-25.9×10-23.3903.19540g39.6×10-212.9×10-23.10160g46.1×10-219.4×10-23.093表2测简谐振动周期10周时间/s周期T/s—T/s理论值T’=2π21/mkk相对百分差'/’-—TTT×100％x1x2x3表3测简谐振动系统能量次数系统质量m/kg弹性系数k1+k2/(N/m)位置x/m速度v=l/t动能Ek=1/2mv2势能Ep=1/2（k1+k2）x2总能量E=Ek+Ep1X0X1X2X0X1X’3X0X1X’’