水力裂缝与天然裂缝相交准则

1最大周向应力破裂判据是断裂力学的核心问题，破裂判据是针对某一特定尺度、特定层次提出的。作为一个完整的破裂判据，至少能够回答两个问题：①破裂在什么条件下起始或继续：②破裂向什么方向扩展？Erdogan与薛昌明（Sih）（1963）基于复合型裂纹在垂直于最大周向拉应力方向的平面内扩展这一实验观测结果，提出了最大周向拉应力准则。Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹，且KⅢ=0的情况下，裂纹前缘极坐标中的应力分量表达式为：)()1cos3(sin2cos221)(sin3)cos1(2cos221)(2sin)1cos3(2cos)cos3(2212/12/12/1roKKrrroKKrroKKrrr（1）1.1裂纹扩展方向最大周向拉应力准则认为：裂纹沿σθθmax所对应的θ的方向扩展，该方向满足以下条件：0/,0/22（2）将式（1）中第二式对θ微分后，得到)sin3cos(2cos)1cos3(sin2sin21243)1cos3(sin2cos232122KKKKrKKr（3）令0/可得0)1cos3(sin2cosKK（4）上式中一个解为：0,,0)2/cos(。但代入（3）式可知，此解使0/22，不能满足0/22的条件。另外此解求得的是裂纹面上已破裂方向，无实际意义，所以断裂角θ0决定于方程0)1cos3(sinKK（5）当KΙ和KΠ都不为零时，由式（2）得出)/(4)/(811(arctan220KKKK（6）由应力分析可以得到的应力分布图，可以看出，使Ι-Ⅱ复合型裂纹的取极大值的范围只能在0，因此满足应力分析的分支为)/(4)/(811(arctan220KKKK（7）2Renshaw与Pollard准则2.1Renshaw与Pollard准则（1995）Renshaw与Pollard（1995）借助实验方法模拟了水力裂缝遇到预置的正交人工天然裂缝交互延伸情况，并根据实验结果归纳出了水力裂缝与人工天然裂缝交互延伸准则06.135.035.00yyxxT（8）Renshaw与Pollard准则值考虑了水力裂缝与人工裂缝正交的情况下交互延伸的情况，该准则采用线弹性断裂力学的方法预测了当裂缝交互界面另一端的应力足够开启裂缝时交互界面上能够阻止裂缝滑动的裂缝尖端应力。考虑到水力裂缝与天然裂缝之间的夹角分布于0~90°之间，且夹角对水力裂缝是否穿越天然裂缝影响较大，有必要对原本的Renshaw与Pollard准则进行改进。2.2改进的Renshaw与Pollard准则由图1所示，β是水力裂缝尖端与天然裂缝交互界面的夹角，远场应力场中裂缝尖端的最大、最小主应力σH、σh为23cos2cos2sin223sin2sin12cos223sin2sin12cos2rKrKrKIxyIhyIHx（9）式中，KI为应力强度因子；r与θ为裂缝尖端的极坐标；拉应力为正。在裂缝交互壁面处开启新裂缝的条件为01T（10）参照Renshaw与Pollard准则，在θ=β或θ=β-π，r=rc处（如图1），其中rc为岩石发生弹性变形的临界半径，最大主应力可表示为221)2(2xyyxyx（11）主应力的方向为yxxyp22tan（12）将式（10）代入式（11）可得022)2(2Txyyxyx（13）式（13）可表示为022)23cos2sin(23sin2sin)2(2TKKKhHhH（14）式中2cos2cIrKK，表示在已有裂缝另一侧壁面处形成新裂缝所需要的强度。当θ=β或θ=β-π时可通过式（14）求取K值。将式（14）重新整理可得0)2(23sin2sin)2(22cos2222hHhHTKTK（15）式中20hHTT以上二次方程中有两个解，K1与K2。K1为最大主应力等于抗张强度时的解，K2为最小主应力等于抗张强度时的解。根据方程（10）判定K1为有效根。根据Renshaw与Pollard准则准则，临界半径rc可表示为2cos2IcKKr（16）式（10）情况下发生的裂缝起裂必须在裂缝交界处不出现滑移的情况下才能发生，这样裂缝尖端的应力才可以作用于交界面上。对于岩石摩擦表面，交界面处不发生滑移的条件为yS0（17）式中，μ为摩擦系数；S0为界面处的内聚力；与y分别为交界面处的剪应力与正应力；由远场地应力与裂缝尖端诱导应力叠加而来。远场地应力在交界面处的应力可由σH、σh表示2sin22cos222cos22,,,hHrhHhHyrhHhHxr（18）裂缝尖端在交界面处的诱导应力为2cos23cos2sin2sin23sin2sin2sin23cos2sin2cos23sin2sin2sin23cos2sin2cos23sin2sin,,,KKKKKKKKrytipxtip（19）综合剪切应力为2sin22cos23cos2sin2sin23sin2sin,,hHrtipKK（20）作用在交界面上的综合正应力为2cos222sin23cos2sin2cos23sin2sin,,hHhHyrytipyKKK（21）将式（17）由式（20）、（21）表示出来，当式（17）满足时，交互界面处不发生滑移，且拉伸主应力克服了岩石抗张强度。新的裂缝在交界面处起裂，穿越现象发生。如果式（17）不满足，发生滑移，则不会发生穿越。考虑交互界面处的内聚力，Renshaw与Pollard准则可扩展为06.135.035.000hHTS（22）3Blanton准则Blanton提出了不同应力及接触角度下的裂缝交互准则数值解，可将实验结果运用到生产作业中。Blanton准则基于交互区域应力弹性解，假设水力裂缝遇天然裂缝时被钝化。准则认为，当交互处的缝内压力大于天然裂缝壁面上的正应力时天然裂缝张开。当起裂压力低于裂缝张开所需的压力时水力裂缝将穿过天然裂缝。准则可由数学公式表示，裂缝发生穿越时0Tpt（23）裂缝张开0np（24）式中p为裂缝缝内压力；0n表示作用于天然裂缝壁面的正应力；t为平行于天然裂缝的应力；T0为岩石抗张强度。t受远场应力、裂缝内压力、天然裂缝壁面的摩擦滑移、裂缝交互处的裂缝形态等因素影响。Blanton准则裂缝发生穿越最终呈现形式为2sin2cos1031bT（25）其中fKlxxb00)(21（26）200200020000lnln)(ln)(1)(lxlxclxlxlxlxlxlxx（27）2122201)1(ffKKeex（28）图2式中，1与3分别为作用于天然裂缝壁面上的最大、最小主应力；为滑移量；-l到+l为天然裂缝的张开区域；θ为裂缝接触角度；Kf为摩擦系数；)(l以外剪切应力增大直到接近原地应力场剪切应力。该准则与试验结果较为相符，且接触角度为影响裂缝延伸最明显的因素。4Warpinski与Teufel准则Warpinski与Teufel裂缝交互延伸准则考虑了天然裂缝壁面上的剪切滑移导致水力裂缝沿着天然裂缝延伸或使天然裂缝膨胀导致过度滤失。当裂缝壁面的正应力不足以克服壁面间的剪切应力时裂缝发生滑移。根据线性摩擦定律，裂缝壁面的正应力与剪切应力有如下关系)(0pKnf（29）式中，0为天然裂缝面上固有的抗剪强度；Kf为摩擦系数；)(pn为作用于天然裂缝壁面上的有效应力。当)(0pKnf（30）天然裂缝壁面发生剪切滑移。作用于天然裂缝表面的剪切应力与正应力可由二维应力场表示图3作用于天然裂缝壁面上的应力)90(2sin231（31）)90(2cos223131n（32）当水力裂缝与天然裂缝相遇时，交互处的压力可表示为pp3（33）式中，p为treatmentoverpressure；将式（31）、式（32）代入式（30）可得出裂缝发生滑移时的判定准则fff0312cossin2θ22)(KKKp（34）对于裂缝张开将式（32）、（33）代入np可得2)2cos1)((31p（35）5、Poliseuille定律任何分支裂缝中幂律流体流动方程可由Poliseuille定律（Nolte1991）表示HqHqwspdzwwHKftftH1-n1n20n1n2ftnn01)z(1)n(n2n4)n(2ft（36）式中p为流体压力；q为裂缝中流体流速（排量）；Hft为裂缝中流体的高度；w（z）为深度为z时的裂缝宽度；w为裂缝的平均宽度；n与K为流变指数与稠变系数。