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一、事件与概率1、一批按同一标准设计的小型水库，建成后能正常运行30年的概率为0.95，能正常运行40年的概率为0.80，问现在已正常运行了30年的水库能正常运行到40年的概率是多少？解：设A表示“建成后能正常运行30年”的事件，B表示“能正常运行40年”的事件，则所求概率为2、某地区D位于甲乙两河汇合处，假设其中任一河流泛滥都导致该地区淹没，如果每年甲河泛滥的概率为0.2，乙河泛滥的概率为0.4，当甲河泛滥导致乙河泛滥的概率为0.3，求：1、任一年甲乙两河都泛滥的概率；2、该地区被淹没的概率；3、由乙河泛滥导致甲河泛滥的概率。解：令A表示事件“甲河泛滥”，B表示事件“乙河泛滥”，C表示事件“地区D被淹没”，则AB为事件“两河都泛滥”，则：3、某防汛部门有甲乙两人各自独立开展洪水预报。甲报准的概率P(A)=0.88,乙报准的概率P(B)=0.92，求在一次预报中，甲乙两人中至少有1人报准的概率。解：设C表示事件“至少有11人报准”，则C==A+B，由于A与B相互独立，故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.88+0.92--0.88×0.92≈0.994、统计浙江浦阳江甲乙两地在1964-1966年3年内6月份90天中降雨的日数。甲地下雨46天，乙地下雨45天，两地同时下雨42天。假定两地6月份任一天为雨日的频率稳定，试问：1、6月份两地降雨是否相互独立？1、6月份任一天至少有一地降雨的概率为多少？解：设A,B分别表示6月份任一天甲乙两地降雨的时间，则P(A)=46/90;P(B)=45/90,1)1、根据假定降雨频率稳定，所以以频率作为概率的近似值。P(A/B)=P(AB)/P(B)=(42/90)/(45/90)=42/45=0.93而P(A)=46/90=0.51则P(A/B)与P(A)不等，故不是相互独立事件2、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=46/90+45/90-42/90=0.545、一批水文数据由A1，A2，A3三人抄录，各人抄录的数据分别为数据总量的0.5，0.25，0.25。各人的抄错率分别为2%，1%，0.5%，现从这批数据中任取一个，求该数据恰为错误数据的概率。解：Ai表示事件“该数为Ai所抄录”。i=1,2,3，B表示事件“所取数据为错误数据”。P(B)=P(A1)*P(B/A1)+P(A2)*P(B/A2)+P(A3)*P(B/A3)=0.5*2%+0.25*1%+0.25*0.5%=0.013756、一批水文数据由A1，A2，A3三人抄录，各人抄录的数据分别为数据总量的0.5，0.25，0.25。各人的抄错率分别为2%，1%，0.5%，现从这批数据中任取一个，该数据为错误的，试问该错误数据是由A1抄录的概率是多少？解：P(A1)=0.5，P(B/A1)=2%，P(B)=0.01375由贝叶斯公式得：P(A1/B)=(P(A1)*P(B/A1))/P(B)=0.5*2%/0.01375=0.727二、随机变量及其分布1、有一批产品共100件，其中有5件次品，今从中任取2件，我们可用X来表示任取的2件产品中次品的件数。解：用“X=0”表示“没有取到次品”；“X=1”表示“取到1件次品”；“X=2”表示“取到2件次品有关随机变量几个概念总体：在统计数学中，把某种随机变量所取数值的全体，称为总体。水文特征值如年径流量的总体数是无穷的样本：从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，称为样本。样本所包含的项数，称为样本容量离散型随机变量的概率分布设随机变量X为离散型随机变量，则X的取值可以一一列举出来。若X的所有可能取值为xi(i=1,2……），X取xi的概率为Pi，即P(X＝xi)＝Pi,i＝1,2…则上式称为随机变量X的概率函数。将X的所有可能取值xi以及与其相应的概率Pi列成表，此表称为随机变量X的分布列离散型随机变量的分布函数为：概率函数的性质性质1：Pi=0,i=1,2,3,……性质2：1、一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，求抽得次品数X的分布列及分布函数。解：从含有2只次品的15只产品中抽取3只，抽得的次品数的可能取值为0,1,2。X的分布列为：X012P(X=xi)22/3512/351/35X的分布函数为：F(X)=2、3、例：一座小型水库，每年出现超标洪水的概率为1/50，假定各年是否出现超标洪水是相互独立的，求在建成后20年内恰有2年出现超标洪水的概率和出现超标洪水的年数在4年以上的概率。解：将每年观测该年的最大洪水看成一次试验，按题意为20次独立重复试验。令x表示出现超标洪水的年数，则x~B(20,1/50)于是，所求概率为4、例：据统计，上海夏季5-9月任一天出现暴雨的概率（实为频率）为0.019，假定各日是否出现暴雨相互独立，求任一年夏季恰有4个暴雨日的概率。解：5-9月共有153天，把观测每天是否出现暴雨看成一次试验，因假定各日是否出现暴雨相互独立，所以这是伯努利试验。令X表示出现超标洪水的日数，则X~B(153，0.019)5、6、据气象部门预测，某号台风即将在我国东南沿海某地桩号为1000-2000km的海岸线登陆，如果登陆点x是在1000-2000km区间内服从均匀分布的随机变量，试求该号台风在桩号为1200-1700km的区间内登陆的概率。解：根据题意，X的分布密度f(x)为：所以