求和约定与张量概念

补充讲义求和约定与张量概念雷君相编上海理工大学二00九年九月十六日求和约定和张量概念(以三维空间为例)一、求和约定1．字母标号法①一点位置：,,xyz──123,,xxx──ix（1,2,3i）②一点位移：,,uvw──123,,uuu──iu（1,2,3i）③轴向单位矢：,,ijk──123,,eee──ie（1,2,3i）④方向单位矢：,,lmn──123,,lll──il（1,2,3i）⑤一点应力状态：,,,,,xyzxyyzzx──112233122331,,,,,()ijji(,1,2,3ij)──ij⑥一点应变状态：,,,,,xyzxyyzzx──112233122331,,,,,──ij⑦偏导数：,,xyz──123,,xxx──,i312,,xyz──312123,,xxx──,ii注：1）角标符号：成组的符号和数组都可用一个带下角标的符号表示，这种符号叫做角标符号。2)角标符号后的括号在不引起误会的情况下常可省略。3）如一个角标符号带有m个角标，每个角标取n个值，则该角标符号代表了mn个元素。如：(,1,2,3)ijaij，有239个元素。2.求和标号（哑标）:同一项中的重复标号表示求和，顺序取1,2,3，……。3112233131122331iiiijjiiiiabababababababab省略省略哑标A⃗⃗112233iiAeAeAeAe二重哑标312,dziiidxdydxxyz三重哑标哑标：算式中重复出现的角标叫做哑标。求和约定：在算式的某一项中，如果有某个角标重复出现，就表示要对该角标自1至n的所有元素求和。例：2221231lll即：1iill（i=1,2，3）说明：（1）求和标号可用任何字母表示（或代替）。iimmnnkkabababab……ijjmkkabab（2）和式相乘，每一和式取不同标号。ii=112233xyz（二重哑标）（xyz）（xyz）iiii（四重哑标）=1111+2222+3333=211+222+233=2x+2y+2z而（xyz）（xyz）=iijj（二重哑标）=2x+2y+2z+xy+xz+yx+yz+zx+zyA⃗⃗=iiAeB⃗⃗=iiBeA⃗⃗B⃗⃗=iiAeiiBe3.自由标号：同一项中不重复出现的标号称为自由标号。ijajx=ibj—求和标号，j=1,2,3；i—自由标号，i取1,2,3之一。1111221331211222233231132233331,2,3,iaxaxaxbiaxaxaxbiaxaxaxb（线性代数方程）i为方程的序号，代表等式的数目又ijjikkiaxbyCnjjnkknaxbyC即：自由标号要改统一改，否则便不改。例：①,0ijjiaF0)ijijFx(或（平衡微分方程）i：自由标；j：哑标13111211231,0iFxxx，0xyxxzXxyz。23212221232,0iFxxx，0yxyyzYxyz。31323331233,0iFxxx，0zyzxzZxyz。②ijjilT（应力边界条件）i：自由标；j：哑标i=11111221331lllT，xxyyzlmnXi=22112222332lllT，yxyyzlmnYi=33113223333lllT，zxzyzlmnZ③,,1()2ijijjiuu（或1()2jiijjiuuxx）（几何方程）1111111()2uuxxxux2222221()2uuxxyvy3333331()2uuxxzwz1212211()2uuxx11()22xyxyuvryx3223321()2uuxx11()22yzyzvwrzy3131131()2uuxx11()22zxzxwurxz4.Kroneckerdelta：1,0,ijijij即112233122331213213101）ij的运算公式：ijijjiiiii=2221122333ijjkjiiiikikjkikkk=ikijjkkm=imiijaijjjjjaajijajiiiiaiaijiiajijja2）ij与单位矢的关系ijijee1111121210eeee，……。3）ij与方向余弦的关系新\旧1()xe2()ye3()zeijl:第一标号—原坐标第二标号—新坐标第一行为'x轴与x，y，z轴的方向余弦第二行为'y轴与x，y，z轴的方向余弦第三行为'z轴与x，y，z轴的方向余弦ie=ikl'ke，je=jnl'ne''1()xe11l21l31l''2()ye12l22l32l''3()ze13l23l33l即：122232'''11112133'''22112233'''33112333eleleleeleleleelelele''ijikkjnninjnkneelelellnkinjkll且ijee=ijikjkijll又'''ijikkjnjikkieelelelkiijlikkiijll4）ij的应用（1）更换字母标号：①0ijjiaiiij（ijijaa）()0ijjiijjjijijijjaaa，即：()0ijijja。②求,?ijxijijxx,ijijx()iijjxx（2）简写方程：①111122223333,,abhcabhcabhc，122112233223,,....aahcaahcijijijabhc。②ijmijijs（矩阵表示）：二．张量概念标量：零阶张量：031矢量：一阶张量：133张量：二阶张量：239分量（或元素）1.标量（Scalar）..Ttm绝对标量与坐标选取无关的量称为不变量。2.矢量（Vector）:..iDuvwu矢量与坐标选取有关，坐标系变化时要服从一定的规律。,,:iixyzDue（旧坐标中）,,:jjxyzDue（新坐标中）iijjueueiiijjiueeueeiijjjjueeueeijijuuljiijuul即ijijuul即为矢量转轴公式（坐标变换）。jiijuul引申定义：已知：三个数ia，一个矢量iiue，若iiau----不变量，则ia----构成矢量；若ia---矢量，则iiau---不变量。证明：iijjauau（不变量）ijijaal又jiijuul'iijijijjaualuauiijiijauauliiau为不变量。则ijijaal故iiaa矢量。3.张量（Tensor）定义：有量ija在坐标转换过程中满足：ijmnimjnaall（二阶张量的转轴公式）mnijimjnaall规律的量称量ija为张量，记为ija。引申定义一：已知：九个数ija，两个矢量iijjee，若ijija——不变量（双线性组合），则ijijaa。证明：ijijmnmnaa而miimlmniimjjnallmjjnl则ijmnimjnaall（定义）ijijaa。引申定义二：已知：九个数ija，一个矢量j，若ijiia，而i，则ijijaa。证明：给ijiia乘矢量i得ijiiiia（引申定义）ijijaa。例：证明：一点的应力状态是张量。单位面积上的内力----应力矢（全应力）3111112213peeexxxyyxzzeee2211222233peee3311322333peeeiijjpeiivleil设ABC的面积为1，则iX面的面积为il1iivplp而iijjpe，vvjjppe即ijjivjjelpevijijpl（引申定义二）ij是张量。4.张量的矩阵、种类111213212223313233ijaaaaaaaaaa；100010001ij单位矩阵1）对称张量：ijjiaa六个独立分量ij，ij。2）反对称张量：ijjiaa三个独立变量0iiiiaa121321233132000aaaaaa3）共轭张量：（反）对称张量（ija）转置后jia→（jia），则互为共轭张量。5.张量的加减和分解：1）加减()()()ijijijabcijijijabc即对应元素的加减。可能出现零张量。2）分解为对称张量和反对称张量设ija其共轭jia1()()2ijijjicaa，为对称张量；'1()()2ijijjicaa，为反对称张量。而'()()ijijijacc。例：应力张量：可分解为,球张量偏张量即ijmijijs。6．张量的不变量和主方向：111213121222323132333()iiijijjiijjkkiaaaacaaaaaacaaaaaac第一不变量第二不变量第三不变量设单位方向矢jile，张量()ijaijjial，iil，若ijll，则λ=const.为主值。所以，就是()ija的主方向。练习题1.写出下列各式的具体表达式：(a)/(1,2,3);iipuxi(b)(,1,2,3);ijijyaxij(c)/0(,1,2,3);ijixij(d)(,,1,2,3);ijikkjyaxijk(e)(,1,2,3)ijijijyaxij。2.简写下列各式：（a）111121231321212223233131232333yaxaxaxyaxaxaxyaxaxax；（b）111122133121122223323113223333yaxaxaxyaxaxaxyaxaxax。3.证明下列等式：（a）3ijijij；（b）ijjkkmim；（c）22211()2Jcc，其中1iic，2ijjic。