求曲线轨迹方程专题

1PMN2015专题：轨迹方程问题常见的有六种求轨迹方程的方法：①待定系数法：由几何量确定轨迹方程；②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程；④“代入法”求轨迹方程；⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程．⑤“交轨法”求轨迹方程；1．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P的坐标为P(x，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围．例1．设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amxy,向量(,1)bxy,ab，动点(,)Mxy的轨迹为E．求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；解：因为ab,(,1)amxy,(,1)bxy，所以a·b＝2210mxy，即221mxy．当m＝0时，方程表示两条直线：1y；当1m时，方程表示的是圆：221xy；当m＞0且1m时，方程表示的是椭圆；当m＜0时,方程表示的是双曲线．2．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程例2．如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得2PMPN试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.解：如图，以直线12OO为x轴，线段12OO的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为12(2,0),(2,0)OO．设(,)Pxy，则，同理222(2)1PNxy．2222211(2)1PMOPOMxy∵2PMPN，∴2222(2)12[(2)1]xyxy，即221230xxy，即22(6)33xy．这就是动点P的轨迹方程．注：动圆圆心轨迹问题①动圆与两外离定圆均外切(含相交)；②动圆过定点且定圆外切；③动圆过定点且定直线相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且定圆相切．23．参数法求轨迹方程：例3．动圆P过点A(0,1)且与直线y=-1相切，O是坐标原点，动圆P的圆心轨迹是曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过A作直线l交曲线C于,DE两点，求弦DE的中点M的轨迹方程；（3）在（2）中求ODE的重心G的轨迹方程。解：(1)点P到点A的距离等于点P到直线y=-1的距离，故点P的轨迹C是以点A为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，所以曲线C的方程x2=4y.2222A,14440,+=4,(+)2,1,212()1,1.2221lxyxxkxkxkyxxkyyxy1122212122(2)设M(x,y),D(x,y),E(x,y),依题意知过的直线的斜率存在，设该直线的方程为：y=kx+1与联立，消整理得：--则xx则xxkx+1=2k2k即，消去得：即为所求的方程k另解：（2）(0,1)A，设11(,)Dxy，22(,)Exy，(,)Mxy，则由2114xy，2224xy，两式相减得lk21212142yyxxxxx，又1lAMykkx，12xyx，即2112yx.（3）设G（x,y）,由（2）得2+=4,+=(+)242kkk121212xxyyxx，240+33,0+42333kxxkyy1212xxyy，消去k得：23243yx为所求方程。4．“代入法”求轨迹方程：设点M是已知曲线F（x，y）＝0上的动点，点P因点M的运动而运动（即点P是点M的相关点），求点P的轨迹方程．①设点M的坐标为M（0x，0y），则F（0x，0y）＝0；②设点P的坐标为P（x，y）；③因为“点P随点M的运动而运动”，可以求得：0x＝f（x，y），0y＝g（x，y）；④把0x＝f（x，y），0y＝g（x，y）代入F（0x，0y）＝0，即得所求点P的轨迹方程．例4.已知点100(,)Pxy为双曲线222218xybb（b为正常数）上任一点,2F为双曲线的右焦点,过1P作右准线的垂线,垂足为A,连接2FA并延长交y轴于2P.求线段1P2P的中点P的轨迹E的方程.2F1FOyxA2P1PP3解：(1)由已知得208303FbAby（，），（，）,则直线2FA的方程为:03(3)yyxbb,令0x得09yy,即20(0,9)Py,设Pxy（，）,则00002952xxyyyy,即0025xxyy，代入22002218xybb得:222241825xybb,即P的轨迹E的方程为22221225xybb5．“交轨法”求轨迹方程：设动曲线F(x,y）＝0和动曲线G(x，y)＝0相交于点P，求点P的轨迹方程．从理论上，其求解程序为：①设动点P的坐标为：),(PPyx；②解方程组0),(0),(yxGyxF，求交点即得到．其中一般会含有参数，有一个消除参数的难点．例5．已知椭圆22ax＋22by＝1（a＞b＞0）的离心率为33．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．（1）求a与b的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为1F和2F，直线1L过2F且与x轴垂直，动直线2L与y轴垂直，2L交1L于点P.求线段1PF的垂直平分线与直线2L的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型.解：（1）e＝3322ab＝32．又圆心（0，0）到直线y＝x＋2的距离d＝半径b＝22112，∴2b＝2，2a＝3．（2）1F（－1，0）、2F（1，0），由题意可设P（1，t）（t≠0）.那么线段1PF的中点为N（0，2t）．2L的方程为：y＝t，设M(MMyx,)是所求轨迹上的任意点.直线1PF的斜率k＝2t，∴线段1PF的中垂线MN的斜率＝－t2．所以：直线MN的方程为：y－2t＝－t2x．4由22txtytytytxMM42，消去参数t得：MMxy42，即：xy42，其轨迹为抛物线（除原点）．又解：由于MN＝（－x，2t－y），1PF＝（－x，2t－y）．∵MN·1PF＝0，∴tyytxtx0)2(·)2,(，，消参数t得：xy42（x≠0），其轨迹为抛物线（除原点）．注：本题的第一问是由几何量确定轨迹方程；第二问是“交轨法”求轨迹方程．例6．已知曲线1C：||||1(0)xyabab所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C的内切圆半径为253，记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆2C的标准方程；(2)设AB是过椭圆2C中心的任意弦，L是线段AB的垂直平分线，M是L上异于椭圆中心的点．若||MO＝λ||OA(O为坐标原点)，当点A在椭圆2C上运动时，求点M的轨迹方程．解：(1)由题意得22245253ababab4522ba，椭圆方程：2254xy＝1．(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)，A(AAyx，)．由22154,xyykx2222220204545AAkxykk，2222220(1)||45AAkOAxyk．设M(x，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0)|MO|2＝λ2|OA|22222220(1)45kxyk．因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝1xkk＝xy，代入上式有：522222222222220(1)20()4545xxyyxyxyxy，由022yx2225420xy，当k＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为22245xy，（λ0）．例7．已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPOM=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：（1）设椭圆长半轴长及分别为a，c．由已知得71cacaa＝4，c＝3.椭圆C的方程为221167xy．（2）设(,)Mxy，其中4,4x。由已知222OPOM及点P在椭圆C上可得2222911216()xxy,整理得2222(169)16112xy，其中4,4x。（i）34时。化简得29112y,所以点M的轨迹方程为47(44)3yx，轨迹是两条平行于x轴的线段。（ii）34时，方程变形为2222111211216916xy，其中4,4x,当304时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足44x的部分。当314时，点M轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足44x的部分．6例8．已知双曲线222xy的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的动直线与双曲线相交于AB，两点．若动点M满足1111FMFAFBFO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．解：由条件知1(20)F，，2(20)F，，设11()Axy，，22()Bxy，．设()Mxy，，则1(2)FMxy，，111(2)FAxy，，1221(2)(20)FBxyFO，，，，由1111FMFAFBFO121226xxxyyy12124xxxyyyAB的中点坐标为422xy，．当AB不与x轴垂直时，1212024822yyyyxxxx，即1212()8yyyxxx．又因为AB，两点在双曲线上，所以22112xy，22222xy，两式相减得12121212()()()()xxxxyyyy，即1212()(4)()xxxyyy．将1212()8yyyxxx代入上式，化简得22(6)4xy．当AB与x轴垂直时，122xx，求得(80)M，，也满足上述方程．所以点M的轨迹方程是22(6)4xy．练习：1.分别过12(1,0),(1,0)AA作两条互相垂直的直线，则它们的交点M的轨迹方程是_______.2.已知点F为抛物线22yx的焦点，P在抛物线上运动，则线段PF的中点轨迹方程是.3.已知椭圆的焦点是1F、2F，P是椭圆上的一个动点．如果延长PF1到Q，使得||||2PFPQ，那么动点Q的轨迹是（），如果M是线段1FP的中点，则动点M的轨迹是().（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线74.设A，B分别是直线255yx和255yx上的两个动点，并且||20AB，动点P满足OPOAOB．记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程.5.已知椭圆1C的中心在坐标原点，一个焦点为F(0,3)，过点F且垂直长轴的弦长为1，(1)求椭圆1C的方程;(2)过椭圆1C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量OQOMON，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.