江苏大学-常微分方程-3-7-一阶线性方程与常数变易法

2.2一阶线性方程与常数变易公式(Firstorderlineardifferentialequationandconstantvariationformula)[教学内容]1.认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程;2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式;3.介绍电学知识和基尔霍夫定律;4.认识Bernoulli方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法;5.介绍其他可化为一阶线性方程的例子.[教学重难点]重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程.[教学方法]自学1、4；讲授2、3课堂练习[考核目标]1.熟练运用常数变易公式;2.知道dxbxsineax计算和一些三角函数恒等式;3.知道电学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律;4.知道溶液混合问题建模;5.认识Bernoulli方程并会经过适当变换化为线性方程求解.6.知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程.1.认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（Firstorder(non)homogeneouslineardifferentialequation）(1)称形如yp(x)dxdy的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续；称形如q(x)yp(x)dxdy的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x)p(x),连续且q(x)不恒为零.(2)当0y时，改写yp(x)dxdy为1Cdxp(x)|y|ln,dxp(x)ydydx,p(x)ydy，其中dxp(x)表示P(x)的一个原函数(antiderivative).因此，yp(x)dxdy通解(generalsolution)为1Cp(x)dxeC~,eC~y，此外y=0也是解.综上，yp(x)dxdy的解为C,eCyp(x)dx为任意常数.(3)常数变易法：如何求q(x)yp(x)dxdy的解呢？假定上述线性非齐次方程有如下形式的解p(x)dxeC(x)y，则代入原方程来确定C(x)，q(x)p(x)C(x)eep(x)C(x)e(x)'Cdxdyp(x)dxp(x)dxp(x)dx，即q(x)e(x)'Cp(x)dx，Cq(x)dxeC(x)q(x),e(x)'Cp(x)dx-p(x)dx，此处C为任意常数,q(x)dxep(x)dx-为函数q(x)ep(x)dx-一个原函数.综上，一阶线性非齐次方程的通解为q(x)dxeeCeC)q(x)dxe(ey(x)p(x)dx-p(x)dxp(x)dxp(x)dx-p(x)dx.2.一些实际应用例子（Applications）例28.电容器的充电和放电模型RC电路：假定开始电容C上没有电荷，电容两端电压为0，合上开关1后，电池E对电容C开始充电，电池电压为E，电阻阻值为R，电容C两端电压逐渐上升.写出充电过程中，电容C两端电压随时间变化的规律.解：设U(t)表示在时刻t时电容两端电压，则根据电学知识，电容两端电量Q=UC，电流I=dtdUCdtdQ,电阻两端电压为RI=dtdUR.由基尔霍夫定律知，闭合回路上压降为零.即有0dtdURCUE.改写为RCEURC1dtdU，这是一个一阶线性非齐次方程.记RCEq(t),RC1p(t),由常数变易公式得到，C~eE)C~(Eee)C~dtRCEe(e)C~q(t)dte(eU(t)RCtRCtRCtRCtRCtp(t)dtp(t)dt再注意到初始条件U(0)=0，-EC~0,C~eEeU(0)00，因此，RCtEeEU(t).例29.考察如下RL电路图，设电源E的电压为0Usinwt,UEmm为常数，求电感线圈上电流I随时间的变化规律，设t=0时，I=0.解：设I(t)表示时刻t时电感线圈上电流强度，则由电学知识有，电感线圈两端电压为dtdIL.由基尔霍夫定律知，闭合回路电压降为零.于是0dtdILIRE.改写为sinwtUL1LIRdtdIm,这是一个一阶线性非齐次方程.记wtsinLUq(t),LRp(t)m,由常数变易公式得到，)C~dtsinwtLUe(e)C~q(t)dte(eI(t)mLRtLRtp(t)dtp(t)dt.babtcosbbtsinaebt))isinbt(cosebaib)(aIm()eiba1Im()dteIm(dt)Im(eedtbtsine22ata22ib)t(aib)t(aibtatat22tLRmLRtmmLRtw(R/L)wt)coswsinwtLR(eLUdtsinwteLUdtsinwtLUe令2222w(R/L)wφsin,w(R/L)R/Lφcos，于是由BsinAcosBcosAsinB)sin(A知，22tLRmmLRtw(R/L)φ)sin(wteLUdtsinwtLUe，于是LRt22meC~w(R/L)φ)sin(wtLUI(t).再注意到初始条件I(0)=0，22m0022mw(R/L)φsinLUC~0,C~eew(R/L)φsinLUI(0)，因此，tLR22m22mew(R/L)sin(φLUw(R/L)φ)sin(wtLUI(t)).练习23.(1)求dtbtcoseat；(2)改写tcosbsinta为θ)sin(tba122，给出θ所满足的条件.(3)由Euler公式bsinibcoseib和Rba,,eeeb)i(abiai推导出:basinsinbcosacosb)cos(ab,sinacosbcosasinb)sin(a和b))sin(ab)(sin(a21bcosasin，b))cos(ab)(cos(a21bcosacos.作业24.（1）如例28中RC电路图，设E=10V,R=100,C=0.01F,开始时刻电容C上电压为零并在此刻合上开关1，问经过多长时间电容C两端电压为V5U1?（2）如下RL电路图，设E,R,L均为正的常数，求开关闭合后电路中电流强度I(t)，假定I(0)=0.例30.溶液混合问题：设容积为V（单位3m）的密封容器装着某种溶液如下图，从A以速度r（单位/sm3）流入浓度为0Ce（常数）的相同溶液，经充分混合后在B以相同速度r流出容器,假设时刻t=0时，容器溶液浓度为0，问容器中浓度随时间变化的规律.解：设时刻t时容器溶液浓度为C(t)，则C(0)=0，且由溶质出入平衡，也即流入减去流出等于容器内溶质变化量，由微元法建立如下等式：VC(t))Δt)(C(tC(t)ΔtrCΔtre，即eCVrCVrdtdC.(以下略)作业25.假设伊利湖的存水量为34m1048，从休伦湖流入和从安大略湖流出的速度都是每年34m1035，在t=0时刻，伊利湖的污染物浓度时休伦湖的5倍.如果流出的水是完全混合好的湖水，问使得伊利湖的污染物浓度减少到休伦湖2倍需要多少时间？（假定休伦湖污染物浓度为常数0Ce）3.Bernoulli方程及其解法称形如Rn,yq(x)yp(x)dxdyn为Bernoulli方程.解法：当0y时，改写原方程1n,n)q(x)(1yp(x)n)(1dxdyyn)-(1n-1n-,令n)q(x)(1n)p(x)u(1dxdu,yun1，这是一个一阶线性非齐次方程.例31求解方程2yxxy6dxdy.解：经过观察，原方程是一个Bernoulli方程,n=2.（1）当0y时，改写原方程为x2)(1yx62)(1dxdy2)y-(1212，令21yu，则xux6dxdu.由常数变易公式得到，6276-dxx6dxx6xC8xC)dxx(x)Cxdxe(eu(x).返回原变量得到62xC8xy1.(2)当y=0时，容易验证0y也是原方程的解.作业26.求解方程（1）33yxyxdxdy；（2）1y(1),yxy'yx22.4.交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程例32.求解（1）2y2xydxdy；（2）33yxxy1dxdy.解：(1)这是一个一阶方程，非线性方程，不是Bernoulli方程.(a)当0y时，交换自变量和因变量而改写原方程为yxy2yy2xdydx2.这是一个一阶线性方程.由常数变易公式得到，C)y)dy(e(exdyy2dyy2，即|)y|ln(CyC)y)dy(y1(yx222为所求方程的通积分.(b)当y=0时，已验证y=0也是原方程的一个解.(2)结合Bernoulli方程来完成，留作练习.作业27.求解方程（1）3yxydxdy；（2）y2yxdxdy22.5.一些一阶线性方程的理论（1）考虑方程q(x)yp(x)dxdy，其中p(x),q(x)都是以w0为周期的连续函数.用常数变易公式证明：（a)若0q(x)，则方程任一非零解都以w为周期的周期函数充要条件是p(x)的平均值.0p(x)dxw1(x)pw0(b)若q(x)不恒为零，则方程有唯一w周期解充要条件是0p(x)dxw1(x)pw0,试求出此解.（参见丁同仁、李承治《常微分方程教程》P36习题5，6）