江苏大学常微分方程往年样卷-A仅供参考

江苏大学试题（2007-2008学年第2学期）课程名称常微分方程（A卷）开课学院理学院使用班级数学师范、应用数学、信息计算考试日期题号一二三四五六七八总分核查人签名得分阅卷教师一、[12分]选择题1.下列常微分方程中是线性方程的为___________。A.sin2122dtd；B.dtdxxxx','21''其中；C.xxydxdyx2cossincos；D.yxdxdy1。2.考察线性方程组XtAdX)(dt，其中)(tA为连续n阶矩阵函数，)(tX为n维向量函数，则下列叙述不正确的是__________。A.方程一定存在n个线性无关的解；B.设)(,),(),(21tXtXtXn为方程的n个线性无关解，则方程的任一解)(t表为)()()()(2211tXctXctXctnn，其中ic为相应的常数；C.设)(t为方程在],[ba上的基解矩阵，P为可逆n阶方阵，则Pt)(也是方程的基解矩阵；D.设)(,),(),(21tXtXtXn为方程的n个解，则它们的朗斯基行列式为零。3.关于方程yxdtdyyxdtdx2,的奇点类型及稳定性叙述正确的为__________。A.渐进稳定的结点；B.不稳定的鞍点；C.不稳定的焦点；D.稳定的中心。二、[20分]填空题1.方程022xdtxd的通解为_____________________。2.欧拉方程022222xdtdxtdtxdt的通解为_______________________。3.方程组AXdtdX，其中2002A的通解为________________________。命题教师：共2页第1页学生所在学院专业、班级学号姓名江苏大学试题第2页4.克莱罗方程yyxy22的奇解为______________。三、[32分]计算题1.求解xydxdycos2；2.求解xxydxdyx2cossincos；3.求解贝努里方程xxyyxyln'2；4.用积分因子的方法求解方程0)2()3(23dyxyxdxyx。四、[12分]设方程)(2xfyyy。(1)当)(xf=xxe时，写出方程的通解，并求出方程满足0)0(',0)0(yy的特解；(2)当)(xf=xex时，用常数变易法求出方程的通解。五、[8分]考察非线性方程组)(222233522232zyeyxdtdzzyxzxdtdyexzyxdtdxxx零解的稳定性。六、[8分]考察方程组221),(,)(RxxXXtAdtdXT，其中2,1,,))(()(22jitatAij为],[ba上的连续矩阵函数，设TTtttttt))(),(()(,))(),(()(2212221111为方程组的两个解，记它们的伏朗斯基行列式22))(det()(ttWij。(1)证明)(tW满足方程WtatadtdW)()(2211且有如下的刘维尔公式],[,,)()(0)]()([002211battetWtWttdssasa。(2)已知tttcossin)(1为方程组txttxdtdxttxtxdtdx22122211sin)cossin1()cossin1(cos的一个解，利用刘维尔公式求出原方程与)(1t线性无关的另一个解)(2t。七、[8分]应用题一伞兵与降落伞共重90千克，当伞张开时他以12米/秒的速度垂直下落，设空气阻力与瞬时速度成正比，且当速度为6米/秒时，空气阻力为g36牛顿，其中g为重力加速度。试求(1)伞兵开伞后t秒时的速度；(2)其极限速度是多少？(3)试讨论为什么要求伞兵和降落伞总重量适中而不能太重？