江苏省南京市2015-2016学年高一上学期期末学情调研数学试题Word版含答案

南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研高一数学2016.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．函数f(x)＝1x–3的定义域是▲．2．集合{0，1}的子集的个数为▲．3．求值：log345－log35＝▲．4．已知角的终边经过点P(2，－1)，则sin的值为▲．5．已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为▲cm2．6．函数f(x)＝cos(x－3)，x[0，2]的值域是▲．7．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是▲（用a，b，c表示，并用“＜”连结）．8．将函数y＝sin2x的图象向右平移6个单位长度，所得图象的函数解析式是▲．9．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝2，且BE→＝EC→，DF→＝12FC→，则AE→·BF→＝▲．10．已知函数f(x)＝3x－log2x的零点为x0，若x0(k，k＋1)，其中k为整数，则k＝▲．11．已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x＞0，其中e为自然对数的底数，则f[f(12)]＝▲．ABCDEF（第9题）12．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋)上是单调增函数，且f(lgx)＜f(1)，则x的取值范围是▲．13．若函数f(x)＝m·4x－3×2x＋1－2的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是▲．14．若函数f(x)＝sin(ωx＋3)(ω＞0)在区间[0，2]上取得最大值1和最小值－1的x的值均唯一，则ω的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8分）已知sinx＝45，其中0≤x≤2．（1）求cosx的值；（2）求cos(－x)sin(2－x)－sin(2－x)的值．16．（本小题满分10分）已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，c＝(3，4)．（1）求a·(b＋c)；（2）若(a＋b)∥c，求实数的值．17．（本小题满分10分）经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数，日销售量(单位：件)近似地满足：f(t)＝－t＋30(1≤t≤20，tN*)，日销售价格(单位：元)近似地满足：g(t)＝2t+40，1≤t≤10，tN*，15，11≤t≤20，tN*．（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系；（2）当t等于多少时，日销售额S最大？并求出最大值．18．（本小题满分10分）已知函数f(x)＝Asin(x＋)（A＞0，＞0，0＜＜2）的部分图象如图所示，且f(0)＝f(56)．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的解析式，并写出它的单调增区间．19．（本小题满分10分）已知|a|＝10，|b|＝5，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b．（1）当bc时，求实数x的值；（2）当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．656yxO–2（第18题）●●20．（本小题满分10分）对于定义在[0，＋)上的函数f(x)，若函数y=f(x)－(ax＋b)满足：①在区间[0，＋)上单调递减；②存在常数p，使其值域为(0，p]，则称函数g(x)＝ax＋b为f(x)的“渐近函数”．（1）证明：函数g(x)＝x＋1是函数f(x)＝x2＋2x＋3x＋1，x[0，＋)的渐近函数，并求此时实数p的值；（2）若函数f(x)＝x2＋1，x[0，＋)的渐近函数是g(x)＝ax，求实数a的值，并说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研高一数学参考答案2016.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．(3，＋)2．43．24．－555．96．[12，1]7．b＜a＜c8．y＝sin(2x－3)9．－410．211．1212．(110，10)13．(0，＋)14．[712，1312)二、解答题：本大题共6小题，共58分．15．解（1）因为sin2x＋cos2x＝1，所以cos2x＝1－sin2x＝1－(45)2＝925．………………………2分又因为0≤x≤2，故cosx≥≤0，所以cosx＝35．…………………4分（2）原式＝cosxcosx―(―sinx)＝cosxcosx＋sinx………………………7分＝3535＋45＝37．………………………8分16．解（1）因为b＋c＝(3，－2)＋(3，4)＝(6，2)，………………………2分所以a·(b＋c)＝(2，－1)·(6，2)＝12－2＝10．………………………5分（2）因为a＋b＝(2，－1)＋(3，－2)＝(2＋3，－1－2)，又(a＋b)//c，所以4(2＋3＝3(－1－2)，………………………8分解得＝－1118．………………………10分17．解（1）由题意知，S＝f(t)·g(t)＝(2t＋40)(－t＋30)，1≤t≤10，tN*，15(－t＋30)，11≤t≤20，tN*．…………4分（2）当1≤t≤10，tN*时，S＝(2t＋40)(－t＋30)＝－2t2＋20t＋1200＝－2(t－5)2＋1250．因此，当t＝5时，S最大值为1250；………………………7分当11≤t≤20，tN*时，S＝15(－t＋30)＝－15t＋450为减函数，因此，当t＝11时，S最大值为285．………………………9分综上，S的最大值为1250．答：当t＝5时，日销售额S最大，最大值为1250元．……………10分18．解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为x＝0＋562＝512，…………2分则T4＝512－6＝4，即T＝．所以函数的最小正周期是π．………………………4分（2）由图可知，A＝2，因为T＝，所以＝2T＝2．………………………6分又f(512)＝－2，所以2sin(56＋)＝－2，即sin(56＋)＝－1，因此56＋＝2k－2，即＝2k－43，k∈Z．因为0＜＜2，所以＝23．所以函数的解析式为f(x)＝2sin(2x＋23)．………………………8分由2k－2≤2x＋23≤2k＋2，k∈Z，解得k－712≤x≤k－12，k∈Z，所以函数的单调增区间为[k－712，k－12]，k∈Z．………………10分19．解（1）b·c＝b·[xa＋(1－x)b]＝xb·a＋(1－x)b2＝x×(－5)＋(1－x)×5＝0，解得x＝12．………………4分（2）|c|2＝[xa＋(1－x)b]2＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2＝10x2－10x(1－x)＋5(x－1)2＝25x2－20x＋5＝25(x－25)2＋1．所以，当x＝25时，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1．……………7分此时，c＝25a＋35b．又a·c＝a·（25a＋35b）＝25a2＋35a·b＝25×10＋35×(－5)＝1．设向量a，c的夹角为，则cos＝a·c|a||c|＝11×10＝1010．………………………10分20．解（1）由题意知，f(x)－x－1＝x2＋2x＋3x＋1－x－1＝x2＋2x＋3－(x＋1)2x＋1＝2x＋1．易知，函数y＝2x＋1在[0，＋)上单调递减，且值域为(0，2]．所以，函数g(x)＝x＋1是函数f(x)＝x2＋2x＋3x＋1，x[0，＋)的渐近函数，此时p＝2．………………………3分（2）①当a＞1时，考察函数y＝x2＋1－ax，令y＝0，得x2＋1＝ax，两边平方得x2＋1＝a2x2，所以x2＝1a2－1，因为x≥0，所以x＝1a2－1，即x＝1a2－1时，函数y＝x2＋1－ax的值为0．因此，函数y＝x2＋1－ax的值域不是(0，p]．所以g(x)＝ax不是函数f(x)＝x2＋1的渐近函数．…………………5分②当a＝1时，考察函数y＝x2＋1－x，由于x2＋1－x＝1x2＋1＋x，下面考察t＝x2＋1＋x．任取x1，x2[0，＋)，且x1＜x2，则t1－t2＝x21＋1＋x1－x22＋1－x2＝x21＋1－x22＋1＋x1－x2＝x21－x22x21＋1+x22＋1＋x1－x2＝(x1－x2)(x1＋x2x21＋1＋x22＋1＋1)＜0，所以函数t＝x2＋1＋x在[0，＋)上单调递增，又当x无限增大时，t的值也无限增大，所以t的取值范围是[1，＋)．因为函数y＝1t在(0，＋）单调递减，从而函数y＝x2＋1－x在[0，＋）单调递减，且值域为(0，1]．所以g(x)＝x是f(x)＝x2＋1的渐近函数．…………………8分③当0＜a＜1时，方法（一）y＝x2＋1－ax＝(x2＋1－x)＋(1－a)x因为x2＋1－x(0，1]，所以y＞(1－a)x．假设y＝ax是f(x)＝x2＋1的渐近函数，则y＝x2＋1－ax的值域为(0，p]，故y的最大值为p．设(1－a)x＝p，则x＝p1－a，当x＞p1－a时，必有y＞p，矛盾．所以，此时g(x)＝ax不是函数f(x)的渐近函数．………………………9分方法（二）记F(x)＝x2＋1－ax，则F(0)＝1，由x2＋1－ax＝1，即x2＋1＝ax＋1，解得x＝2a1－a2＞0，即F(0)＝F(2a1－a2)，所以函数y＝x2＋1－ax在[0，＋)上不单调，所以g(x)＝ax不是函数f(x)的渐近函数．………………………9分④若a≤0，则函数y＝x2＋1－ax在[0，＋)上单调递增，不合题意．综上可知，当且仅当a＝1时，g(x)＝x是函数f(x)＝x2＋1的渐近函数．………………………10分