江苏省苏锡常镇四市2016届高三第二次模拟考试数学试卷

2016届高三年级第二次模拟考试(一)数学本试卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合A＝{x|x3，x∈R}，B＝{x|x1，x∈R}，则A∩B＝________．2.已知i为虚数单位，复数z满足zi＋4＝3i，则复数z的模为________．3.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为________．4.在平面直角坐标系xOy中，已知方程x24－m－y22＋m＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________．5.为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是________．6.执行如图所示的程序框图，输出的x值为________．(第6题图)(第7题图)7.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥PAA1C1C的体积为________．8.设数列{an}是首项为1，公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，Sn成等比数列，则数列{an}的公差为________．9.在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)＝x2＋4x(x0)的图象上任意一点，过M点向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则MA→·MB→＝________．10.若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是________．11.在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为________．12.已知函数f(x)＝－x2＋4x，0≤x4，log2（x－2）＋2，4≤x≤6，若存在x1，x2∈R，当0≤x14≤x2≤6时，f(x1)＝f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是________．13.已知函数f(x)＝2x－1＋a，g(x)＝bf(1－x)，其中a，b∈R，若关于x的不等式f(x)≥g(x)的解的最小值为2，则a的取值范围是________．14.若实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，则当x＋2y取得最大值时，xy的值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin2x＋π3－3sin2x－π6.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈－π6，π3时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值．16.(本小题满分14分)如图，已知四棱柱PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAB；(2)若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD.(第16题图)17.(本小题满分14分)如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OAOB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为43k.设OA＝x，OB＝y.(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)求N－M的最大值及相应的x的值．(第17题图)18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点P1，32，离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点．①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；②若直线l的斜率为32，试探究OA2＋OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．19.(本小题满分16分)设函数f(x)＝x－2ex－k(x－2lnx)(k为实常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，4)内至在三个极值点，求k的取值范围．20.(本小题满分16分)已知首项为1的正项数列{an}满足a2n＋1＋a2n52an＋1an，n∈N*.(1)若a2＝32，a3＝x，a4＝4，求x的取值范围；(2)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．若12SnSn＋12Sn，n∈N*，求q的取值范围；(3)若a1，a2，…，ak(k≥3)成等差数列，且a1＋a2＋…＋ak＝120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak的公差．2016届高三年级第二次模拟考试(一)数学附加题21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4­1：几何证明选讲如图，直线AB与⊙O相切于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C，且AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．(第21A题图)B.选修4­2：矩阵与变换设M＝1002，N＝12001，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下得到的曲线方程．C.选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ.设P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标．D.选修4­5：不等式选讲已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x，若存在实数x使f(x)＋g(x)a成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.(本小题满分10分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.(1)证明：平面DFC⊥平面D1EC；(2)求二面角ADFC的大小．(第22题图)23.(本小题满分10分)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示．(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数Crn，Cr＋1n，Cr＋2n，Cr＋3n不能构成等差数列．(第22题图)2016届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.(1，3)2.53.3204.(－2，4)5.256.67.138.29.－210.(2，＋∞)11.36412.3，2562713.(－∞，－2]∪－14，＋∞14.2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解：(1)由题意知，f(x)＝3sin2x＋π3＋cos(2x＋π3)＝2sin2x＋2π3，(4分)所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(6分)当－π2＋2kπ≤2x＋2π3≤π2＋2kπ(k∈Z)时，f(x)单调递增，解得x∈－7π12＋kπ，－π12＋kπ(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为[－7π12＋kπ，－π12＋kπ](k∈Z)．(8分)(2)因为x∈－π6，π3，所以π3≤2x＋2π3≤4π3，(10分)当2x＋2π3＝π2，即x＝－π12时，f(x)取得最大值2，(12分)当2x＋2π3＝4π2，即x＝π3时，f(x)取得最小值－3.(14分)16.证明：(1)取PB中点E，连EA，EN，△PBC中，EN∥BC且EN＝12BC，又AM＝12AD，AD∥BC，AD＝BC，(3分)得EN∥AM，EN＝AM，四边形ENMA是平行四边形，(5分)得MN∥AE，MN⊄平面PAB，AE⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB(7分)(2)过点A作PM的垂线，垂足为H，∵平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，AH⊂平面PAD，∴AH⊥平面PMC，∴AH⊥CM.(10分)∵PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴PA⊥CM.(12分)∵PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAD，CM⊥平面PAD，∵AD⊂平面PAD，∴CM⊥AD.(14分)17.解：(1)因为OA＝x，OB＝x，AB＝y＋1，由余弦定理，x2＋y2－2xycos120°＝(y＋1)2，解得y＝x2－12－x，(3分)由x0，y0得1x2，又xy，得xx2－12－x，解得1x1＋32，(6分)所以OA的取值范围是1，1＋32.(7分)(2)M＝kOB＝ky，N＝43.S△AOC＝3kx，则N－M＝k(3x－y)＝k3x－x2－12－x，(8分)设2－x＝t∈3－32，1，则N－M＝k3（2－t）－（2－t）2－1t＝k10－4t＋3t≤k10－24t·3t＝(10－43)k.(11分)当且仅当4t＝3t即t＝32∈3－32，1取等号，此时x＝2－32，(13分)所以当x＝2－32时，N－M的最大值是(10－43)k.(14分)18.解：(1)1a2＋94b2＝1，a2－b2a＝12，得a2＝4，b2＝3.(2分)所以椭圆C：x24＋y23＝1.(3分)(2)①设直线l的方程为x＝my＋1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋1，x24＋y23＝1，化简得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知Δ0，(5分)所以y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，所以kAP·kBP＝y1－32x1－1·y2－32x2－1＝y1－32my1·y2－32my2＝1m2·y1y2－32（y1＋y2）＋94y1y2＝－1m－34，(7分)所以t＝kAB·kAP·kBP＝－1m2－34m＝－1m＋382＋964，(9分)所以当m＝－83时，t有最大值964.(10分)②设直线l的方程为y＝32x＋n，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝32x＋n，x24＋y23＝1，得3x2＋23nx＋2n2－6＝0，Δ＝(23n)2－4×3(2n2－6)0，即－6n6.x1＋x2＝－23n3，x1x2＝2n2－63，(12分)OA2＋OB2＝x21＋y21＋x22＋y22＝(x21＋x22)＋(y21＋y22)＝x21＋x22＋32x1＋n2＋32x2＋n2＝74(x21＋x22)＋3n(x1＋x2)＋2n2＝74(x1＋x2)2－72x1x2＋3n(x1＋x2)＋2n2(14分)＝74－233n2－722n2－63＋3n(－233n)＋2n2＝7.(16分)19.解：(1)由函数f(x)＝exx2－(x－2lnx)(x0)，可得f′(x)＝（x－2）（ex－x2）x3(2分)因为当x0时，exx2.理由如下：要使x0时，exx2，只要x2lnx，设φ(x)＝x－2lnx，φ′(x)＝1－2x＝x－2x，于是当0x2时，φ′(x)0；当x2时，φ′(x)0.即φ(x)＝x－2lnx在x＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln20，即x0时，x2lnx，所以ex－x20，(5分)于是当0x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.所以函数f(x)在(0，2)上为减函数，(2，＋∞)上为增函数．(6分)所以f(x)