李维忠2013函数的导数在高考中的命题形式的汇总

函数的导数在高考中的命题形式的汇总贵州省余庆中学李维忠（摘要：函数的导数在解决实际问题中有着极其重要的作用，有着极其丰富的实际背景和广泛的应用，是微积分的核心概念，是高考中对函数问题的解决的重要方法和手段，在高考中份量比重较重的考点，通过笔者在教学中总结，命题形式汇总。）函数的导数在解决实际问题中有着极其重要的作用，有着极其丰富的实际背景和广泛的应用，是微积分的核心概念，是高考中对函数问题的解决的重要方法和手段，在高考中份量比重较重的考点，通过笔者在教学中总结，命题形式有以下几种形式：命题形式1：导数的定义由函数的定义可知：（1）'00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx（是一个常数）推广：0'000000()()()()()limlimxxxfxnxfxfxfxfxnxxx(2)'00()()()limxfxxfxfxx（是一个函数）例：已知'(1)3f，则0(1)(1)lim_________3xfxfxx分析：此题以函数()fx在0xx处可导的定义入手，进行命题，要求学生要充分掌握和理解定义，并加以利用。解：00(1)(1)(1)(1)(1)(1)limlim33xxfxfxfxfffxxx=001(1)(1)(1)(1)limlim3xxfxffxfxx=001(1)(1)(1)(1)limlim3xxfxffxfxx=''1(1)(1)3ff=2命题形式2：正确地进行函数求导，注重法则的应用。正确地进行函数求导是关键，是基础，常常在考题中充分利用函数的求导公式和法则进行命题。例：设(),()fxgx是定义在R上的恒大于0的可导函数，且''()()()()0fxgxfxgx，则当axb时有（）.()()()()Afxgxfbgb.()()()()Bfxgafagx.()()()()Cfxgbfbgx.()()()()DfxgXfaga解析：联想到'''2()()uxuvuvvxv（子导母不导减子不导母导）就很容易得到，构造一个新函数()()()fxhxgx，然后求导得'()0hx说明()hx在xR上时减函数，根据axb得()()()()()()fafxfbgagxgb，从而选Ｃ类似：设(),()fxgx是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时''()()()()0fxgxfxgx且(3)0g，则不等式()()0fxgx的解集是（）.3,03,A.3,00,3B.,33,C.,30,3D命题形式3：利用函数导数的几何意义、物理意义解决实际问题。（1）函数()yfx在点0x处的导数的几何意义，就是曲线()yfx在点00()Pxfx，处的切线的斜率k,也就是说，曲线()yfx在点00()Pxfx，处的切线的斜率是'0()fx，切线方程为'000()()()yfxfxxx（2）''()(),()vtstvta（加速度）（3）利用导数解决生活中的优化问题。生活中经常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等实际问题，往往可以归结为最值问题，注意：常常遇到所给函数在给定的区间上只有一个极值点，那么这个极值点也就是函数在该区间上的最值点，据此可求得函数的最值，从而使优化问题得以解决。例1：（11年辽宁）设函数2()lnfxxaxbx，曲线=()yfx过(1,0)P且在点P处的切线斜率为2（1）求,ab的值（2）证明：()22fxx例2：用铁皮制作一个体积为v的正三棱柱形包装盒，问底面边长为何值时，使用的铁皮面料最省？解：设正三棱柱的底面边长为x,高为h，由题意得：2022134sin60243vvxhxhhx又2021343()2sin60322vsxxhxxx3'2224344()33(-=3vvxvsxxxxxx）令'()0sx，得34xv由分析得34xv是()sx的一个极值点所以当34xv时()sx取得最小值答：当正三棱柱底面边长为34v时，使用的铁皮面料最省。命题形式4：函数导数与其它数学考点的交汇；函数的导数与不等式，函数的单调性、极值、存在性、三角函数、圆锥曲线等知识的交汇，是高考中常考题型，也是高考命题的一个热点（Ⅰ）导数与数列的交汇例：设曲线1*()nyxnN在点1,1处的切线与x轴的交点的横坐标为nx，令lgnnax，则12399..._________aaaa解：过点1,1的切线斜率为'11()|1|1nxxkfxnxn切线方程为：1(1)(1)ynx令0y得：1nxn，即与x轴的交点的横坐标为：1nnxn又lglg1nnnaxn12399123991...lglglg...lglg2234100100aaaa（Ⅱ）导数与不等式的交汇要证不等式()()fxgx，则构造函数()()()xfxgx，只需证()0x，由此转化成求()x的最小值问题，借助于导数解决。例：求证：23112ln(1)1(1)23xxxx证明：设23112()ln(1)(1)1(0)23fxxxxxx23221121'()(1)2(1)(1)xfxxxxxxx令'()0fx解得1211,2xx（舍去）当'01()0,xfx时，当'1()0,xfx时，()fx在(0,1)在递减，在(1,)上递增故当1x时，()fx取最小值min(1)0f()(1)0fxf，即()0fx23112ln(1)1(1)23xxxx成立（Ⅲ）导数与恒成立问题的交汇一些求题中参数取值范围的问题，经常采用分离常数法，常转化成为恒成立，利用max()()fxafxamin()()fxafxa例：已知函数32()fxxaxbxc在23x与1x时都取得极值，（1）求,ab的值及函数()fx的单调区间（2）若对1,2x，不等式2()fxc恒成立，求c的取值范围解：（略解）由条件易得：1,22ab由当1,2x时，2()fxc成立，转化为：322122xxxcc恒成立令321()2,2gxxxx1,2x'2()32(32)(-1gxxxxx）由'()0gx得：122,13xx当213x或12x时，'()0,gx当213x时，'()0,gx()gx在21,,1,23上是增函数，在2,13上是减函数当2x时，max()2gx22cc即2-20cc解得1c或2c故2()fxc在1,2x上恒成立，c的取值范围是(,1)(2,)c（Ⅳ）与圆锥曲线的交汇导数与圆锥曲线的交汇体现在曲线的切线问题。例：已知抛物线24xy的焦点为F,A,B是抛物线上的两动点,且(0)AFFB，过A,B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M(1)证明:FMAB为定值（2）设ABC的面积为S,写出()sf的表达式。解：（1）由2'11,42yxyx又(0)AFFB，即三点A、B、F共线且0,1Fi）当直线l的斜率存在且k=0时，(2,1),(2,1)AB切线AM的方程为：1(2)1yxyx切线BM的方程为：121yxyx交点为(0,1)M(0,2)(4,0)0FMAB为定值ii)当直线l的斜率存在且不为0时，1ykx2244401xyxkxykx设1122(,),(,)AxyBxy由韦达定理得：121244xxkxx切线AM的方程为：1111()2yyxxx切线BM的方程为：2221()2yyxxx联立方程得：121222(2,1)114xxxkMkyxx即21212121(2,2)(,)2(()2()FMABkxxyykxxyy=2221212121112()2()()2()42kxxxxxxkxx=211()2402xxkk（定值）综合i）ii)知：0FMAB为定值（Ⅴ）与三角函数的交汇（2008年全国Ⅱ）设函数sin()2cosxfxx（1）求函数()fx的单调区间，（2）略解：(1)sin(),2cosxfxxRx22cos(2cos)sin(sin)2cos1()(2cos)(2cos)xxxxxfxxx当12cos10cos-2xx即时，也就是'222,2,,()033xkkkZfx时当12cos10cos-2xx即时，也就是'242,2,,()033xkkkZfx时函数()fx的递增区间是222,2,33kkkZ递减区间是242,2,33kkkZ（Ⅵ）导数与方程的根的交汇经常在考题中出现告诉某方程()0fx有唯一根，有几根的题，去求某一参数的范围的问题。完全可转化为数形结合的方法，转化为函数()yfx的图象与x轴的交点的个数问题，而作函数()yfx大致图象用到函数的单调性，极值，最值，最终落实到函数的导数问题而求解。例：设函数329()62fxxxxa（1）对于任意实数x,'()fxm恒成立，求m的取值范围（2）若方程()0fx有且仅有一个实根，求a的取值范围解：（1）略（2）方程()0fx有且仅有一个实根等价于函数329()62fxxxxa的图象与x轴（0y）有唯一的交点因'2()3963(1)(2)fxxxxxx当,1x或2,时，'()0;fx当(1,2)x时，'()0;fx即()fx在,1，2,上单调递增，在(1,2)上单调递减，且1x时，5()=-,2()=2-2fxaxfxa极大值极小值当时，作()yfx的图象与x轴右唯一交点的条件是55-0,2-02,22aaaa或或命题的形式5：定积分的应用定积分的应用是高考中的一个热点考点，定积分的综合应用，涉及不规则的平面图形的面积、变速直线运动的路程、变力做功的问题，为了解决这些问题，必须以函数的导数为基础，关键是正确求出被积分函数()fx的原函数()Fx,再利用牛顿——莱布尼兹公式解决问题。1.基本初等函数的原函数公式被积函数()fxcnxsinxcosxxaxe1n一个原函数()Fxcx111nxncosxsinxlnxaaxelnx2.牛顿—莱布尼兹公式：()()()()bbaafxdxFxFbFa例如：（2010.山东.理7）由曲线23,yxyx围城的封闭图形的面积是（）A.12B.14C.13D.712解析：如右图所示：1233410011111()343412sxxdxxx选A（注：改论文发表在《新课程导学》同时荣获2013年省论文一等奖）