李雅普诺夫方法在线性系统的应用

目录摘要...............................................................................................................1关键词...............................................................................................................1Abstract............................................................................................................1Keywords..........................................................................................................1前言...................................................................................................................11．预备知识.....................................................................................................11.1李雅普诺夫第一法.........................................................................................51.2李雅普诺夫第二法.........................................................................................11.3线性系统的特征.............................................................................................22．李雅普诺夫意义下的稳定性.....................................................................22.1稳定与一致稳定.............................................................................................22.2渐进稳定和一致渐近稳定..............................................................................32.3不稳定..........................................................................................................33．李雅普诺夫稳定性定理.............................................................................34．线性系统的李雅普诺夫稳定性分析.........................................................4小结...................................................................................................................7参考文献...........................................................................................................71李雅普诺夫方法在线性系统中的应用摘要：在判定线性系统稳定性时，李雅普诺夫方法的优点在于无须求解系统方程的解，就能对系统的稳定性进行分析．文章介绍了李雅普诺夫稳定性分析在线性系统中的应用．关键词：正定矩阵；标量函数；渐近稳定ApplicationofLyapunov’smethodinlinearsystemAbstract:Indeterminingthestabilityoflinearsystems,theadvantagesoftheLyapunov’smethodiswithoutsolvingthesystemequation,whichcananalyzethestabilityofthesystems.weintroducetheapplicationinlinearsystemanalysisinLyapunovstabilityinthepaper.Keywords:positivedefinitematrix;Scalarfunction;asymptoticstability前言自动控制系统最重要的特性之一是稳定性．系统的稳定性，表示在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性”1．本文中，我们把研究对象集中到线性系统上，来讨论线性系统的稳定性问题．对于这个问题的讨论，都是建立在李雅普诺意义的稳定性的基本概念之上的．１．预备知识1.1李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法又称间接法，它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性．对于线性定常系统，只需解出特征方程的解即可作出稳定性判断．1.2李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法，是通过构造一个类似于“能量”的李雅普诺夫函数，并分析它和其一次导数的定号性，直接对系统平衡状态的稳定性作出判断．21.3线性系统的特征线性系统的特征2，现以线性持续系统为例来说明．设系统输入为1xt与2xt时，其输出分别为1yt与2yt，即11xtyt(1)22xtyt(2)对于线性系统，有1212ttttyyxx(3)所以线性系统具有叠加性．若有n个相同的输入，即12nxtxtxt(4)对于线性系统有11nniiiiiixtnxtytnyt(5)比较式（1）与式（5）可知，n为比例因子，故线性系统具有比例性．有以上分析可知，线性系统是同时具有叠加性与比例性的系统．2.李雅普诺夫意义下的稳定性研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统平衡状态的情况．一般来说，系统可以描述为,Xfxt式中X为n维状态向量．当在任意时间都能满足,0efxt(6)时，称eX为系统的平衡状态．反之满足式(6)的一切x值均是系统的平衡点，对于线性定常系统,XfXtAX，A为非奇异矩阵，0X是其唯一的平衡状态；如果A是奇异的，则式(6)有无穷多解，系统有无穷多个平衡状态．2.1稳定与一致稳定设eX为,Xfxt的一个孤立平衡状态．如果对球域S或任意正实数0,都可找到另一个正实数0,t或球域S，当初始状态0X满足00,eXXt3时，对X有0limetXX，则此系统为李雅普诺夫意义下的稳定．如果与初始时刻0t无关，则称平衡状态eX为一致稳定．2.2渐进稳定和一致渐近稳定设eX为系统方程,Xfxt的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且充分靠近eX的任一初始状态0X都有0lim0etXX或lim01,2,,iietxxin，即收敛用于平衡状态eX，则称平衡状态eX为渐近稳定．如果与初始时刻0t无关，则称平衡状态eX为一致稳定．如果对于状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐进稳定特性．即lim01,2,,iietxxin对所有点都成立，称平衡状态eX为大范围渐近稳定．可见，这样的系统只能有一个平衡状态．由于线性定常系统有唯一解，所以线性定常系统是渐近稳定的，则它一定也是大范围内渐近稳定的．2.3不稳定如果平衡状态eX既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当0tt并无限大时，从0X出发的状态轨线最终超越S域，则称平衡状态eX为不稳定的．3．李雅普诺夫稳定性定理（1）设系统的状态方程3为,XfXt式中，00,0fttt如果有连续一阶偏导数的标量函数,XtV存在，并且满足以下条件：,XVt是正定的；,XtV是负定的．则在原点处的平衡状态是渐近稳定的．如果X，有,VXt，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的．（2）设系统的状态方程4为,XfXt式中00,0fttt．如果存在一标量函数,XVt，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：4,XVt是正定的；,XtV是半负定的；0,0,,VtXtt对任意0t和任意0x,在0tt时不恒等于零．则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的．如果还有X时，,VXt，则为大范围渐近稳定．式中00,,tXt表示0tt时从0x出发的轨线．（3）设系统方程为,XfXt式中，00,0fttt．如果存在一个标量函数,XVt，它具有连续的一阶导数，且满足下列条件：,XVt是正定的；,XtV是半负定的，但在某一X值恒为零．则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫定义下是稳定的，但非渐近稳定．（4）设系统的状态方程为,,XfXt式中，00,0fttt．如果存在一个标量函数,XVt，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：,XVt在原点的某一邻域内是正定的；,XtV在同样的邻域内是正定的．则系统在原点处的平衡状态是不稳定的．4．线性系统的李雅普诺夫稳定性分析13(1)线性定常系统的稳定性分析线性定常系统:,,Abc,,xAxbuycx平衡状态0ex渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部．例1设系统的状态空间表达式1为：101,011xxu51,0,yx试分析系统的状态稳定性．解由A阵的特征方程：det110IA，可得特征值11，21．故系统的状态不是渐近稳定的．（用李雅普诺夫第一法计算）(2)线性定常连续系统渐近稳定性分析设线性定常连续系统为：xAx则平衡状态0ex为大范围渐近稳定的充要条件是：A的特征根均具有负实部．例2已知系统状态方程2：0123xx，试分析系统平衡点的稳定性．解设11122122ppPpp，QI，代入TAPPAI，得1112111221222122020110,132301pppppppp将上式展开，并令各对应元素相等，可解得：51441144P．根据西尔维斯特判据知：1540,251144114440．故矩阵P是正定的，因而系统的平衡点是大范围渐近稳定的．或者由于：2211221524TVxxPxxxxx是正定的，而2212TVxQxxx是负定的．也可得出上述结论．6(3)线性时变连续系统稳定性分析设系统XAtXt的矩阵A是t的函数（即时变函数），则系统在平衡点0ex处是大范围渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的连续对称正定矩阵Qt，存在一个连续对称正定矩阵Pt，使得