李雅普诺夫稳定性理论课件.

第二章自适应控制的理论基础•§2.1李雅普诺夫稳定性理论•§2.2动态系统的正实性•§2.3超稳定性理论•§2.4随机自适应控制的理论基础§2.1李雅普诺夫稳定性理论一、稳定性设系统的状态方程：(2.1.1)——维状态向量，时间的函数——维向量函数——方程的解在状态空间中的轨迹称为轨线若在状态空间中存在某一状态，使(2.1.2)系统将维持此状态而不在发生变化，则就是系统的一个平衡状态。),(tXfXX),(tXf)(tX0),(tXfeeXntneX定义1稳定性若对任意给定的实数，可找到另一正数，使得一切满足的系统响应，在所有的时间内都满足，则称系统的平衡状态是稳定的。其中：(2.1.3)当选得足够小时，则由初始扰动引起的响应，在所有的时间内都包括在一个超球体中(2.1.4))()()0(eXX)(tXeXtX)()(])0([)0(2112nieiiexxXX)(2112])([)(nieiiextxXtX•如果所取的邻域和与初始时刻无关，则称该稳定状态为一致稳定的。)(0t定义2渐近稳定如果系统的一个平衡状态是稳定的，且对靠近平衡状态的任何初始点的系统解满足(2.1.5)也就是说，从足够靠近处出发的每一个解，当时收敛于，则平衡状态是渐近稳定的。如果是渐近稳定的，系统的稳定性质与初始时刻无关，则系统是一致渐近稳定的。eXeX)0(X,0eXX0)(limetXtXeXteXeXeX0t)(tX)(tX定以3全局渐近稳定如果系统的平衡状态，对状态空间的所有都是稳定的，且，则是全局渐近稳定的。如果系统的稳定性质与初始时刻无关，则平衡状态是一致全局渐近稳定的。eX)0(X0)(limetXtXeX0teX注:局部稳定:状态空间中有限的范围内满足稳定条件.在分析系统时,假定系统以坐标原点为平衡状态.通过坐标变换,可将平衡状态Xe平移到坐标原点.系统为:),(tXfX0),0(tf李雅普诺夫稳定性定理(第二方法)•系统为),(tXfX0),0(tf为分析系统的稳定性，引入李雅普诺夫函数（1）李雅普诺夫函数•性质：(1)当时，•（2）的一次偏导数是连续的•（3）是正定的，即对所有有，且•（4）是的单调非降函数，越接近平衡状态，越小),(tXV0exx0),(tXV),(tXV),(tXV0X0),(tXV0)0(V),(tXVXX),(tXV•注：对于线性系统，选为系统状态变量的二次型函数，即),(tXVPXXtXVT),(•例题1：写出质量-阻尼器-弹簧系统的李雅普诺夫函数fkmy系统的运动方程：kyyfym•例题2：设系统的状态方程为•坐标原点是系统的一个平衡状态，判断系统的稳定性)()(2221212222112xxxxxxxxxx注:•用状态构成的能量函数可以很多，只要有一个满足条件即可•若构成的函数都不满足李雅普诺夫函数，也并不意味着系统不稳定(二)李雅普诺夫稳定性定理设系统并设原点0为系统的平衡点),(tXfX0),0(tf定理1李雅普诺夫稳定性定理对于上述系统，如果在包含原点0在内的某个域D内，存在李雅普诺夫函数,而且,则系统在原点0是稳定的。0),(tXV0),(tXV定理2李雅普诺夫渐近稳定性定理对于上述系统，如果在包含原点0在内的某个域D内，存在李雅普诺夫函数,而且,则系统在原点0是渐近稳定的。0),(tXV0),(tXV定理3不稳定的判别定理•对于上述系统，如果在包含原点0在内的某个域D内，存在一个标量函数,而且,则系统在原点0的平衡状态是不稳定的。•例题3系统判断系统的稳定性0),(tXW0),(tXW21221xxxxx三、线性系统的李雅普诺夫稳定性分析•设系统的状态方程为IPAPAPAPAQQXXVXPAPAXdtdVVPPXXXVAXXTTTTTT*)()(则为正定对称阵选择李雅普诺夫函数为注：•可以通过选取一个正定阵Q，用*式求解P，根据P是否正定来判定系统的渐近稳定性。•常选取Q为单位阵。ATP+PA=-I•例2.1-1设系统状态方程为求系统的李雅普诺夫函数，并判断系统的稳定性12840AAXX式中