材料力学-正应力计算

工程力学清华大学出版社北京交通大学出版社工程力学教学课件第十七章弯曲应力及强度刚度计算第一节梁弯曲时的正应力#纯弯曲与剪切弯曲#中性层和中性轴#弯曲正应力分布规律#弯曲正应力的计算、抗弯截面模量各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。1、变形几何关系纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。中性层中性轴#中性层和中性轴xyz•中性层梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。•中性轴中性层与横截面的交线。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短弯曲正应力分布规律M•与中性轴距离相等的点，正应力相等；•正应力大小与其到中性轴距离成正比；•弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；•弯矩为负时，正应力上拉下压；M•中性轴上，正应力等于零yEE2、静力学关系分析0AdA0AAydAEydAE0AydA000cczcAyAAySAyydAZ:中性轴没有轴向力yEE中性轴必然通过横截面的形心质心坐标静矩，面积矩MdAyAMdAyEdA)yE(yAA2zzAzEIMMEIdAyI12或令yEE抗弯刚度zIMyzIMy横截面上某点正应力该点到中性轴距离该截面弯矩该截面惯性矩梁的弯矩图如图5-8b所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为mNqlMmax3000216000222例一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，求最大弯矩因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为在截面的下端受最大压应力，其值为MPa385Pa103850328.0106.253000682maxmaxyIMzC（2）求最大应力MPa178Pa101780152.0106.253000681maxmaxyIMzT第二节惯性矩的计算1、简单截面的惯性矩12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh123bhIz123hbIy矩形截面200100zzyyP(a)(b)483310128200100121121:)(mmbhIaZ483310122100200121121:)(mmbhIbZzIMy圆形与圆环截面3242DdAIApyzPyAzAAAPIIIIIdAzdAydA)zy(dAI2222222实心圆6424dIIIPyz空心圆44642dDIIIPyz441642DIIIPyzDd2、组合截面惯性矩zIIzΙAAzIIdAydAyI1222平行移轴公式AAAAzAzdAaydAadAydAayIdAyI222212)(11AbIIAaIIyyzz2211AAcczydAyAySydA00且例求T字形截面的中性轴z，并求截面对中性轴的惯性矩.将截面划分为Ⅰ、Ⅱ两矩形，取与截面底边相重合的z轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至z轴的距离分别为：cm122cm1226cm5262cm126222IIIIIIyAyA（1）确定形心和中性轴的位置整个截面的形心C在对称轴y上的位置则为：cm31212112512IIIIIIIIIiiCAAyAyAAyAy即中性轴z与轴z的距离为3cm。（2）求各组合部分对中性轴z的惯性矩设两矩形的形心CⅠ和CⅡ；其形心轴为z1和z2，它们距z轴的距离分别为：cm2,cm2IIIIIICCaCCa由平行移轴公式，两矩形对中性轴z的惯性矩为：4232242321cm521221226cm841221262IIIIIIzzIIIIIzzIAaIIAaII将两矩形对z轴的惯性矩相加，得4cm1365284zIIzIzIII（3）求整个截面对中性轴的惯性矩3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上：ZmaxWMWZ称为抗弯截面模量，Z为中性轴.矩形截面Zbh6bhW2Z实心圆截面Zd32dW3ZmaxZZyIW例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7×104mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。4KN9KN1m1m1mDCBAZy解1、计算C截面弯矩RARBKNRKNRBA5.105.205.2KNmMCMCC截面Xy例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7×104mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。Zy4KN9KN1m1m1mDCBARARBMCC截面Xy2、分析C截面应力分布情况MPaIyMZClc8.28107.76388105.246max下MPaIyMZCyc17107.76352105.246max上例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7×104mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。Zy4KN9KN1m1m1mDCBARARB3、求全梁的最大拉、压应力。MX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面MBXyMPaIyMZByBy1.46107.7638810446maxmax下MPalB2.27107.7635210446max4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmyzZZylWMIhMmaxmaxmaxmax2第三节弯曲切应力一、矩形截面梁横截面上的切应力第三节弯曲切应力2242yhIFZQAFQ5.1max第三节弯曲切应力二、工字形截面梁横截面上的剪切应力第四节梁的强度计算#梁的最大正应力#梁的强度条件#举例一、梁的最大正应力•梁的危险截面即最大正应力所在截面对于对称形截面：梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部•梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处ZmaxmaxWM对于非对称形截面：当梁的弯矩有正负变化时，最大的拉应力可能不等于最大的压应力，且可能不在同一截面上。4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面yMBXZ危险截面：在最大的正弯矩截面和最大的负弯矩截面。二、梁的正应力强度条件ZmaxmaxWMMmax梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量[σ]材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷例图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截面的直径。已知q=1KN/mm，许用应力[σ]=140MPa。q3003001400ABCD危险截面在轴的中部利用截面法求该截面弯矩qRAyM3007003000M0700300R2700700qMAy由对称性可求得：N700000214001000ql21RAyKNm45527001000100070000M2ZmaxWMmaxZMW1401000100045532d3mm320d例：一圆形截面木梁，受力如图所示[σ]=10MPa,试选择截面直径d.3KNq=3kN/m1m3m解：1、确定危险截面ABFAFBFQMKNFKNFBA5.35.8-3KN5.5kN-3.5KN1.17m-3KNm2.KNm危险截面：A截面Mmax=3kNm例：一圆形截面木梁，受力如图所示[σ]=10MPa,试选择截面直径d.3KNq=3kN/m1m3mABFAFB危险截面：A截面Mmax=3kNm2、据正应力强度条件确定截面直径。ZmaxmaxWM323dWZ366max31005.3101033232mmMdmmd145例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢，其上受均布载荷q和集中力P作用。若P=2KN，梁长L=2.5m,工字钢的许用应力[σ]=100MPa,试求q的许可值。PqLABZ解：1、确定危险截面PP+qLPL+qL2/2危险截面：固定端AMmax=PL+ql2/2(kNm)例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢，其上受均布载荷q和集中力P作用。若P=2KN，梁长L=2.5m,工字钢的许用应力[σ]=100MPa,试求q的许可值。PqLABZ危险截面：固定端AMmax=PL+ql2/2(kNm)2、据强度条件确定qZmaxmaxWM3141cmWZ100101411025.25.22362qmkNq/3例图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为bh的矩形，h=2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？bhhbq根据弯曲强度条件ZWM同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，WZ越大越好梁立置时：3322Zb326b46b2b6bhW梁倒置时：3322Zb316b26bb26hbW立置比倒置强度大一倍。注意：Z轴为中性轴三、梁的弯曲剪应力强度校核通常满足了正应力强度，剪应力强度也能满足。但在梁的跨度较小或支座附近有较大的载荷时，因梁的弯矩较小而剪应力相对较大，需要对梁进行剪应力强度校核。强度条件为：max例：图示简支梁，材料的许用应力[σ]=140MPa，[τ]=80MPa，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mc解：1、确定危险截面kNFkNFBA6,54FAFB54KN-6KNFQM10.8KNm危险截面：C截面kNFkNmMQ548.10max例：图示简支梁，材料的许用应力[σ]=140MPa，[τ]=80MPa，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mcFAFB危险截面：C截面kNFkNmMQ548.10max解：2、据正应力强度条件确定工字钢的型号。ZmaxmaxWM336max101.77140108.10mmMWZ3529.776.12cmWZ号工字钢例：图示简支梁，材料的许用应力[σ]=140MPa，[τ]=80MPa，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mcFAFBkNFkNmMQ548.10max2546)2,4.8,126,56.12mmdt（hAthmmd腹板面积号工字钢解：3、校核剪应力强度MPaAFQ9.9854610543max例：图示简支梁，材料的许用应力[σ]=140MPa，[τ]=80MPa，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mcFAFB29.669)2(1.9,140,5.514mmdthAthmmd号工字钢重选MPaAFQ6.809.66910543max符合要求%5%75.0%10080806.80第五节提高梁抗弯强度的途径ZmaxmaxWM降低σmax提高WZ采用合理的截面形状降低Mmax合理布置载荷，如图17-20合理安排梁的支承或增加约束，如图17-21END!