材料力学第05章弯曲应力

第五章弯曲应力Chapter5StressinBendingMembers5.1纯弯曲的概念5.2弯曲正应力5.3弯曲切应力第五章弯曲应力2/685.1纯弯曲的概念3/68剪力FS是相切于横截面的内力系的合力；弯矩M是垂直于横截面的内力系的合力。剪力FS只与横截面上的切应力t有关；弯矩M只与横截面上的正应力s有关。5.1纯弯曲的概念4/68FSx+－FFMx+FaFaAC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力，这种情况称为横力弯曲CD段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。FFABCDaa5.1纯弯曲的概念5/685.2弯曲正应力6/685.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力1变形几何关系5.2弯曲正应力7/685.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力1变形几何关系5.2弯曲正应力8/685.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力1变形几何关系MM变形前aabb变形后aabbMmm'nn'变形后mm’nn’仍为直线，且垂直于aa,bb弯曲变形的平面假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。5.2弯曲正应力9/685.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力1变形几何关系MM变形前aabb变形后aabbMmm'nn'由于弯曲的作用，上部纤维缩短，下部纤维伸长。中间必有一层保持原长，这一层称为:中性层5.2弯曲正应力10/685.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力1变形几何关系CC'MAA'BB'中性层横截面aabbccbbaacccc是中性层和横截面的交线，称为中性轴除平面假设外，我们还假设纵向纤维之间无挤压，即纵向纤维间无正应力。5.2弯曲正应力11/685.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力1变形几何关系从纯弯曲梁中沿轴线取dx的微段:dqaab'b'O'O'dxrMMxyzmm'm'yy中性层位于O’O’mm’变形前长度:qrddxmm'mm’变形后长度:qrd)(ymm'mm’位置的线应变:rqrqrqryyyddd)()(表明:距离中性层为y的任一纵向纤维的线应变与y成正比，与r成反比5.2弯曲正应力12/685.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力2物理关系纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩，小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。sE代入几何关系ryy)(得到rsyEy)(梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有5.2弯曲正应力13/685.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力2物理关系rsyEy)(这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。截面压应力拉应力5.2弯曲正应力14/685.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力3静力关系yzyxdAsMzFNMzMyAAyFd)(NsrsyEy)(AAAyEAydd)(rs纯弯曲情况下有：0NFAAAyEAyF0dd)(Nrs横截面对z轴的静矩等于零z轴（中性轴）通过截面形心0rE而5.2弯曲正应力15/68d0zAyAS5.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力3静力关系yzyxdAsMzFNMzMyAyAyzMd)(srsyEy)(AyzyIEAyzEMrrd纯弯曲情况下有：0yM横截面对z轴和y轴的惯性积Iyz(参见附录A)等于零z轴和y轴--形心主轴0rE而5.2弯曲正应力16/68d0yzAyzAI5.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力3静力关系yzyxdAsMzFNMzMyMAyyMAd)(zsAMAyEMd2zrAzIAyd2横截面对z轴（中性轴）的惯性矩弯矩rsyEy)(5.2弯曲正应力17/685.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力3静力关系yzyxdAsMzFNMzMyMIEzr1/r为梁轴线变形后的曲率EI越大1/r越小EI梁的抗弯刚度/弯曲刚度5.2弯曲正应力18/681zMEIr5.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力MIEzrrsyEy)(纯弯梁横截面内正应力s随高度y呈线性分布，以中性层为界，一侧受拉，另一侧受压。截面弯矩M压应力拉应力受压一侧正应力为负，受拉一侧正应力为正5.2弯曲正应力19/681zMEIr()zMyyIs5.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力截面弯矩M压应力拉应力由公式可知，某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。maxmaxyIMzs取maxyIWzzWz抗弯截面系数/弯曲截面系数单位m35.2弯曲正应力20/68()zMyyIsmaxzMWs5.2.1纯弯曲梁横截面上的正应力实心矩形截面的抗弯截面系数yzhbmaxyIWzz2123hbh62bh实心圆截面（直径为d）的抗弯截面系数maxyIWzz264π4dd32π3d其他形状的截面及型钢几何性质可参见附录A及附录D5.2弯曲正应力21/68maxzMWs5.2.2横力弯曲时的正应力工程中实际的梁大多发生横力弯曲，横截面由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比l/h大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，WxMIyxMz)(,)(maxss强度条件ssWMmaxmax5.2弯曲正应力22/685.2.2横力弯曲时的正应力对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大的横截面上，其大小应为:弯矩最大的截面并不一定是危险截面。梁的最大正应力不仅和弯矩M有关，而且和截面的形状尺寸(几何性质)有关。5.2弯曲正应力23/68maxmaxzMyIs【例5-1】如图所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后尺寸如图，F=150kN。求梁危险截面上的最大正应力smax和同一截面上翼缘与腹板交界处点a的正应力sa。FABC10m5m56016612.5z21a5.2弯曲正应力24/68【例5-1】解FABC10m5m56016612.5z21a(1)作梁的弯矩图F=150kN+M/kN·mx375mkN375m105m5mkN150maxM(2)截面几何性质查型钢表(附录D)56a工字钢:43cm60065cm3402zIW5.2弯曲正应力25/68【例5-1】解FABC10m5m56016612.5z21a+M/kN·mx375(3)危险截面最大正应力WMmaxmaxsMPa160mm103402mmN10375336(4)危险截面处点a的正应力zaaIyMmaxsMPa148mm1060065mm212560mmmmN103754465.2弯曲正应力26/68【例5-1】讨论FABC10m5m56016612.5z21a+M/kN·mx375MPa148MPa1602m56.0m021.02m56.0maxmaxssyyaa点a处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160MPa来计算：5.2弯曲正应力27/68【例5-1】讨论显然，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为MPa7.165Pa107.165m102342mN103886363maxsMPa7.5MPa1607.165远小于外加荷载F所引起的最大正应力。mkN388mkN13mkN375842maxqlFlM如果考虑梁的自重(q=1.041kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为5.2弯曲正应力28/68【例5-2】如图所示圆轴AD，在BC段受均布载荷作用。已知q=1kN/m，AB段直径d1=280mm，BC段直径d2=320mm，轴的许用应力[s]=140MPa，试校核该轴的强度。3003001400qABCD5.2弯曲正应力29/68【例5-2】解3003001400qABCD(1)计算简图q3003001400ABCD(2)求约束力并画弯矩图(略)M/kN·mx+210210455mkN455maxMmkN210BM5.2弯曲正应力30/68【例5-2】解3003001400qABCDq3003001400ABCDM/kN·mx+210210455(3)跨中危险截面3333322m1022.332m0.32π32πdWmaxmax2333645510Nm3.2210m14110Pa141MPaMWs超过许用应力[s]=140MPa，但仅相差1%不到，因此跨中满足梁的强度条件。5.2弯曲正应力31/68【例5-2】解(4)校核AB段强度q3003001400ABCDAB段最大弯矩发生在截面BM/kN·mx+210210455mkN210BM3333311m1016.232m0.28π32πdW97.4MPaPa104.97m1016.2mN1021063332maxWMBBsssmaxBAB段强度符合要求，轴AD满足强度条件5.2弯曲正应力32/68【例5-3】如图所示一槽型截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，铸铁的抗拉许用应力[st]=30MPa，抗压许用应力[sc]=120MPa。已知F1=32kN，F2=12kN。试校核该梁的强度。AB1m1m1mF1F2CD2007070202020C5.2弯曲正应力33/68【例5-3】分析AB1m1m1mF1F2CD2007070202020C对铸铁这样的抗压和抗拉强度不一样的材料，截面中性轴又不在对称轴上，同一截面的最大拉应力和最大压应力不相等，计算最大应力时应分清抗拉和抗压强度校核。5.2弯曲正应力34/68【例5-3】解AB1m1m1mF1F2CD(1)计算约束力，画弯矩图FAFB0AM03122132BFkN34BF0yF01232BAFFkN10AFF1=32kN，F2=12kNM/kN·mx+－10125.2弯曲正应力35/68【例5-3】解(2)计算截面几何性质2007070202020CzyC求形心C的位置（负面积法）iCiiCAyAy202140202001402002180202021402020010014020082横截面的惯性矩(注意平行移轴公式)23238290201801001218010082100200140200140121zI47mm1097.3zI5.2弯曲正应力36/68【例5-3】解AB1m1m1mF1F2CD(3)对截面BM/kN·mx+－1012弯矩负值，上侧受拉2007070202020Cz82sBtsBczCBBIyMtsMPa8.24mm1097.382mmmmN1012476zCBBIyhMcsMPa7.35mm1097.3mm82200mmN10124765.2弯曲正应力37/68【例5-3】解AB1m1m1mF1F2CD(4)对截面CM/kN·mx+－1012弯矩正值，下侧受拉zCCCIyhMtsMPa7.29mm1097.3mm82200mmN1010476zCCCIyMcsMPa7.20mm1097.3mm82mmN10104762007070202020Cz82sCcsCt5.2弯曲正应力38/68【例5-3】解AB1m1m1mF1F2CDM/kN·mx+－1012MPa7.29tCsMPa7.20cCsMPa8.24tBsMPa7.35