材料力学第13章(补充内容-对称性的利用)

第13章能量法及其应用13.6对称性的利用在实际工程中，许多结构是对称的。利用对称性常可以使结构的受力分析得以简化。对于平面结构而言，所谓对称是指结构的全部构成对称于某一几何轴线。也就是说，若将结构绕该几何轴线对折后，结构轴线两侧应彼此完全重合。结构的对称性包括两个方面：（1）结构的几何形状和支承情况与某一轴线对称；（2）杆件截面和材料性质也与此轴线对称。例如，图13-25（a）所示刚架是一个左右对称的刚架；图13-25（b）所示的矩形涵管也是一个对称结构，并且具有两根对称轴；图13-25（c）所示刚架，有一根斜向的对称轴等。（a）（b）（c）图13-25在结构对称的前提下，将受力结构沿对称轴对折后，若结构两部分上的力彼此完全重合（作用点对应、数值相等、方向相同），则称为正对称的力；若结构两部分上的力彼此重合但方向相反（作用点对应、数值相等、方向相反），则称为反对称的力。这些力（广义力）既包括作用在结构上的荷载和约束力，也包括结构所产生的内力。对称结构在正对称荷载作用下，其变形和内力分布对称于结构的对称轴（对称轴处截面只有正对称内力），如图13-26所示；对称结构在反对称荷载作用下，其变形和内力分布则将反对称于结构的对称轴（对称轴处截面只有反对称内力），如图13-27所示。（a）（b）（c）图13-26对称轴EI1EI2EI2l/2l/2h\2对称轴EI1EI2EI2l/2l/2hEI1对称轴h\2EIEIll正对称荷载FF对称轴对称变形FF对称内力FFFNFNMM（a）（b）（c）图13-27作用在对称结构上的任意荷载，都可以分解为一组对称荷载和另一组反对称荷载。例如，图13-28（a）所示为一对称刚架，受到集中荷载和分布荷载作用，可将荷载分解为对称和反对称的情况，如图13-28（b）、（c）所示。根据叠加原理，原结构所受的荷载及变形、内力就等于上述两组荷载分别作用的效果之和。可见，只要结构对称，对称性的利用就成为可能。计算对称结构的受力和变形时，如果能利用对称结构在对称和反对称荷载作用下的基本受力特点，就可以减少未知量数目，简化计算过程。（a）（b）（c）图13-28例13-18试绘出图13-29（a）所示的封闭框架的弯矩图。各杆弯曲刚度EI均为常数。（a）（b）（c）（d）反对称荷载FF对称轴反对称变形FF反对称内力FFFSFS对称轴F正对称荷载F/2F/2qq/2q/2F/2F/2q/2q/2反对称荷载=+Fl/2l/2l/2l/2原结构FF/2MAFNAABMBFNB1/4结构F/20F/2荷载作用下弯矩图Fl/4Fl/40MA=1作用下弯矩图MA=10MA=1（e）（f）图13-29解：原结构为三次超静定。由于该结构有两根对称轴，并受到对称荷载作用，所以对称轴处截面只有对称内力，也即弯矩和轴力。如果取四分之一结构计算，如图13-29（b）所示，则转化为一次超静定问题求解。选对称截面A处的弯矩AM为多余约束力，变形协调条件为A切开处左、右两截面间的相对转角为零，即0)()(FAMAAA。分别画出四分之一结构在荷载作用下的弯矩图（图13-29（c））及在1AM作用下的弯矩图（图13-29（d））。其中，EIFlFllFllEIFA163)14214221(1)(2AAMAMEIlMlEIA)112(2)(以此代入变形协调方程，得01632AMEIlEIFl解得EIFlMA163由平衡方程求出B截面的弯矩值EIFlMB16，先绘出四分之一结构的弯矩图（图13-29（e）），再根据对称性，绘出整体结构的弯矩图（图13-29（f））。例13-19试绘出图13-30（a）所示刚架的弯矩图。各杆的EI为常数。解：原结构为四次超静定。由于该结构有一根对称轴，并受到反对称荷载作用，所以对称轴处截面只有反对称内力，也即剪力。如果取半结构计算，如图13-30（b）所示，则转化为一次超静定问题求解。选对称截面A处的剪力SAF为多余约束力，变形协调条件为A切开处左、右两截面间的相对竖向位移为零，即0)()(FVAFVAVAAS。分别画出半结构在荷载作用下的M图3Fl/16Fl/16Fl/161/4结构M图Fl/16Fl/163Fl/16弯矩图PM（图13-30（c））及在1SAF作用下的弯矩图1M（图13-30（d））。（a）（b）（c）（d）（e）（f）图13-30其中，EIEIFVA1980)36260120332120321(1)(SASAFVAFEIFEISA72]3)63(332)3321(2[1)(以此代入变形协调方程，得0721980SAFEIEI解得kN5.27SAF也可采用叠加原理1MFMMSAP绘出半结构的弯矩图（图13-30（e）），再根据对称性，绘出整体结构的弯矩图（图13-30（f））。10kN对称轴10kN6m原结构6m6m10kN半结构FSBFSAABCFCxFCy10kNMP图40kN40kN10kN120(kN.m)M1图1313半结构M图37.522.56082.537.522.56082.537.582.56022.5M图(m)(kN.m)_(kN.m)