材料力学第9章能量方法

§9–1概述一．变形固体的功能原理1.适用条件：线弹性材料；缓慢加载，忽略动能和其它能量变化；2.功能原理：外力的功全部变为变形固体的变形能PWWU21§9–２杆件变形能的计算P-l曲线：一、轴向拉压：Pl外力做功：EAlNEANlNlPW221212杆件变形能：EAlNWU22ldxEANU22例9-1求图示杆件的变形能。Pdl(a)Pd2d2d3l/83l/8l/4(b)解：方法1220222124122dElPdxdEPdxEANUll224102283022287412)2(4122dElPdxdEPdxdEPUllPdl(a)Pd2d2d3l/83l/8l/4(b)解：方法2221441dEPldEPll22111221dElPlPU2222474141)2(41832dEPldElPdElPl222228721dElPlPUlpdxGITU22变形能：二、扭转：ldxEIMU22dxGDNLPPPWUlii221212122211变形能：变形能的普遍式：三、弯曲：例9-2求图示梁的变形能。CBAPMl/2l/2解：方法1：同时作用P和MEIMlEIPlfC164823EIMlEIPlA3162)16696(121212232PMllMlPEIMfPUACCBAPMl/2l/2方法2：先作用P：EIlPEIPlPW9648213231再作用M：EIPMlEIlMEIMlPEIMlMW166163212222结果：)16696(1223221PMllMlPEI§9–3互等定理作用方式1：先作用P1,再作用P2：一、功的互等定理1P121121121222P2)PP(PU12122211112121作用方式2：先作用P2,再作用P1：)PP(PU21211122222121两种作用方式结果相同：21UU212121PP功的互等定理：P1在P2引起的位移12上做功等于P2在P1引起的位移21上所做的功。当P1=P2时：2112212121PP位移互等定理：P力作用在2点而引起1点处的位移等于P力作用在1点而引起2点处的位移。二、位移互等定理例9-3求图示梁跨度中点的挠度。CBAMl/2l/2a12D(a)PCBAl/2l/2a12D(b)解：M和P为广义力P1和P2，D(b)和fC(a)为广义位移12和21，且知EIPlbAbD162)()(根据功的互等定理：212121PP)()(aCbDfPM)(216aCfPEIPlMEIMlfaC162)(习题传动轴的抗弯刚度为EI，抗扭刚度为GIp。皮带拉力T+t=P，D=2d。试计算轴的变形能。设a=l/4。l/2l/2aTtDdP解：（1）将外力向轴线简化T+tPABCD(T-t)D/2Pd/2ppGIldPGIlaPdU3232)2()21(2221EIlPEIPlPPUDH964821213232EIlPaEIlPaEIPaPtTUCV3845)3)(3(21)(213233EIlPGIldPUUUUp38493233222321（2）扭转变形能（3）水平方向弯曲变形能（4）垂直方向弯曲变形能（5）轴的变形能CD段发生扭转变形，扭矩为：Pd/2§9–4卡氏定理一、定理设线弹性结构在约束情况下，无刚体位移，外力为P1，P2，…，Pi，…(广义)，相应在力方向的位移为1，2，…，i…。则变形能是广义力的函数：,...),...,,(21iPPPfU变形能的微分是：iiidPPUdU按二种方式加载iidPPUUdUUU11.同时作用P1，P2，…，Pi+dPi，…，则2.先作用dPi，再作用P1，P2，…，Pi，…，则)(212iiiidPUddPU由于U1=U2，略去二阶微量，则有iiPU二、用卡氏定理计算基本变形1.拉压变形ldxxEAxNU)(2)(2当N(x)为分段常量时：jijjjjiPNEAlNliiidxPxNxEAxNPU)()()(2.扭转变形lpdxxGIxTU)(2)(2当T(x)为分段常量时：jijjpjjiPTGIlTlipiidxPxTxGIxTPU)()()(3.弯曲变形ldxxEIxMU)(2)(2liiidxPxMxEIxMPU)()()(当M(x)为分段常量时jijjjjiPMEIlM对平面曲杆siiisdsPsMsEIsMPUdssEIsMU)()()()(2)(2例9-4用卡氏定理求图示梁自由端的挠度和转角。BPM0AxRAMAl0MPlMPRAA00)()()(MlxPMPlPxxM1)(0MxM解：1.求约束反力2.列弯矩方程3.求偏导数4.用卡氏定理求fB和B)2(1)1()()()(02000lMPlEIdxEIMlxPdxMxMEIxMllB)23(1)()()()(20300lMPlEIdxlxEIMlxPdxPxMEIxMfllB)(lxPxMfB和B的符号为正，表示位移方向与广义力方向一致Pf例9-5用卡氏定理求图示悬臂梁外伸端的挠度ACalx1x2Bq解：1.在外伸端作用虚加力Pf2.列弯矩方程alxxPxMf,0)(11111)(xPxMf3.求偏导数axqxalxPxMf,021)()(22222)()(22alxPxMf4.应用卡氏定理21222111)()()()(lflfAdxPxMEIxMdxPxMEIxMfalaffAdxalxEIqxalxPdxxEIxPf0022222111)(]21)([)()(令：Pf=0)4(24])([203022232alEIqadxxalxEIqfaAfA的符号为正，说明它的方向与Pf的方向一致（向下）。PfACalx1x2BqDCBAaaax1x2x3PP例9-6图示刚架的弯曲刚度和扭转刚度分别为EI和GIp，受两个P力作用后，求A端和C端的水平位移。解：1.分析刚架的变形CD段：弯曲AD段：弯曲BD段：弯曲和扭转2.列弯矩方程和扭矩方程axxPxM,0)(1111axxPxM,0)(2222),0()(313axaPxTCD段：AD段：BD段：axxPxaPxM,0)()(331323(P2)(P1),0)(,)(,)(,0)(,)(,)(,0)(,)(23323222211331312111PxTxaPxMxPxMPxMaPxTxPxMPxMxPxMppapaallllCGIaPEIPaGIaPEIaPPEIaPEIaPadxGIaPdxxEIxPxaPdxxEIxPdxPxTEIxTdxPxMEIxMdxPxMEIxMdxPxMEIxM3133132132310310033313211113313333133221221111123)3)(2(3)(0)()()()()()()()(3.求偏导数4.应用卡氏定理EIPaEIaPEIaPEIaPdxxaEIxPxaPdxxEIxPdxPxTEIxTdxPxMEIxMdxPxMEIxMdxPxMEIxMaallllA27653730)()(0)()()()()()()()(3313232033313202222332333323322222112112222AfADfXPPYPNPP1234522222220ffffNPNPNPPNPPNABlPlCDC例9-7图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等，在载荷P作用下，试求节点B与D间的相对位移。解：(1)在B处作用虚加力Pf，并求出约束反力(2)求各杆的轴力NDPfABPCDYAXA12345(3)上式分别对Pf求偏导数3512422210222fffffNNNNNPPPPP51222222()()222()(2)222()102iiiBDiffffffNlNUPEAPPlPlEAEAPPlPPlEAEA()2(2)2200()0(2)2.7122BDPlPlPlPlEAEAEAEA(4)用卡氏定理求B点沿BD方向的位移(5)令上式中的Pf为零方向为B向D靠近习题图示刚架，已知AC和CD两部分的I=30×10-6m4，E=200GPa。试求截面D的水平位移和转角，若P=10kN，l=1m。2PPll2lABCDP2=2PP1=Px1ABCDx3x2Mf§9–4莫尔定理一、定理ldxGDNLU)(2)(2ldxGDNLU)(2)(200...P1...P2PiP0=1按二种方式加载第一种P0=101UUU(UU0...P1...P2PiΔ)0P21UUldxGDNLNL)())((0第二种ldxGDNLNLU)(2)(202P0=1...P1...P2PiΔ01UU)(0PUUU0ldxGDNLNLUU)())((00llldxGDNLNLdxGDNLdxGDNL)())(()(2)()(2)(0202ldxEAxNxN)()(lpdxGIxTxT)()(ldxEIxMxM)()(拉压变形：扭转变形：弯曲变形：二、应用qaRqaRBA23,21CBAqaax1例9-８求图示梁上A截面转角和C端挠度解：1.求约束反力2.列弯矩方程CBAx1x2CBAx1x2RB=2RA=1M0=1RA=1/aRB=1/aP0=1axqaxxM,021)(111RBRAaxqxxM,021)(2222112)(xxM11)(111xaxM0)(21xM222)(xxMx23.运用莫尔定理2221211111)()()()(llAdxEIxMxMdxEIxMxM2222211121)()()()(llCdxEIxMxMdxEIxMxMf0)11)(21(0111adxEIxaqaxEIqa123aadxEIxqxdxEIxqax022220111))(21())(21(EIqaEIqa8644EIqa2474)cos1()()cos1()(RMPRMEIPRRdEIRPRdsEIMMsAB303)cos1()cos1(2)()(2PPORA例9-９求图示活塞环，在P力作用下切口的张开量。1.列弯矩方程POddsAP0=1OddsA2.应用莫尔定理解：结构和载荷均对称，取半环研究，忽略轴力和剪力影响习题平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面A的转角。3l4lABCDPx1ABCDPx2x31x1ABCDx2x3)()cos3()()(332211PxxMxlPxMPxxM1)(1)(1)(321xMxMxMEIPlEIPlEIPlEIPldxEIPxdxEIxlPdxEIPxdxEIxMxMdxEIxMxMdxEIxMxMllllllA2332921529)1)((