材料力学第三章 扭转.

第三章扭转§3-1扭转的概念和实例§3-2扭转内力的计算§3-3薄壁圆筒的扭转§3-4圆轴扭转的应力分析及强度条件§3-5圆杆在扭转时的变形·刚度条件§3-6密圈螺旋弹簧的应力和变形§3-7非圆截面杆的扭转§3-8开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转§3-1扭转的概念及实例一、工程实例(Torsion)MeMe二、受力特点杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.三、变形特点杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.(Torsion)(Torsion)(Torsion)(Torsion)§3-2扭转的内力的计算从动轮主动轮从动轮一、外力偶矩的计算Me—作用在轴上的力偶矩(N·m)P—轴传递的功率(kW)Ps—轴传递的功率(PS)n—轴的转速(r/min)m)(N9549nPMem)(N7024nPMsenMe2Me1Me3Me在n–n截面处假想将轴截开取左侧为研究对象二、内力的计算1、求内力截面法T0xMeMTMeMe(Torsion)Mex••nnMeMe•xTMe•xT采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正，反之为负.2、扭矩符号的规定3、扭矩图用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置；用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩，正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方.Tx+_Me4ABCDMe1Me2Me3n例题1一传动轴如图所示，其转速n=300r/min，主动轮A输入的功率为P1=500kW.若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW.试做扭矩图.解:计算外力偶矩nPM9549emN6379mN4780mN159004e3e2e1eMMMMMe4ABCDMe1Me2Me3n计算CA段内任横一截面2-2截面上的扭矩.假设T2为正值.结果为负号，说明T2应是负值扭矩由平衡方程ABCDMe1Me3Me2220023e2eTMMMxmN95603e2e2MMT同理，在BC段内mN47802e1MTBCxMe2Me3T2Me4Me2x1TABCD同理，在BC段内在AD段内1133注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4mN47802e1MTmN63704e3MTT1T3作出扭矩图4780N·m9560N·m6370N·m+_从图可见，最大扭矩在CA段内.mN9560maxT§3-3薄壁圆筒的扭转1.实验前1）画纵向线，圆周线；2）施加一对外力偶.一、应力分析薄壁圆筒：壁厚（r0—圆筒的平均半径）0101rtdxxMeMe2.实验后①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；②各纵向线均倾斜了同一微小角度；③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.3、推论1)横截面上无正应力，只有切应力；2)切应力方向垂直半径或与圆周相切.dxt圆周各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等，近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化.MeMeABDC此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式.4、推导公式TtrrArrAAA)π2(ddtrT2π2薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致.Tττ(Torsion)xdydxyz二、切应力互等定理ττ1、在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向于y轴平行.可知，两侧面的内力元素dydz大小相等，方向相反，将组成一个力偶。由平衡方程0yF其矩为(dydz)dxxydyzdxττ2、要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得(dydz)dx00xzFMzyxd)dd(3、切应力互等定理单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线.纯剪切单元体：单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.xydyzdxττMeMel式中，r为薄壁圆筒的外半经.三、剪切胡克定律由图所示的几何关系得到薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶Me在某一范围内时，与Me（在数值上等于T）成正比.lr弹性模量E，剪切弹性模量G与泊松比μ的关系TO从T与之间的线性关系，可推出与间的线性关系.该式称为材料的剪切胡克律.G–剪切弹性模量lrtrT2π2G)1(2EGO思考题：指出下面图形的切应变2切应变为切应变为0变形几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式§3-4圆杆扭转的应力分析·强度条件1、变形现象1)轴向线仍为直线，且长度不变；2)横截面仍为平面且与轴线垂直；一、变形几何关系3)径向线保持为直线，只是绕轴线旋转.2、平面假设:变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面.aabbdxO1O23、几何关系倾角是横截面圆周上任一点A处的切应变,d是b-b截面相对于a-a截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度.经过半径O2D上任一点G的纵向线EG也倾斜了一个角度ρ，它也就是横截面半径上任一点E处的切应变xEGGG'ddtgTTdADG'ρρD'GE同一圆周上各点剪应力均相同，且其值与成正比，与半径垂直.二、物理关系由剪切胡克定律GxGGddaabATTdxDbdDO1O2GG'ρρ(Torsion)rOdAdAρρT三、静力关系1、公式的建立TAAdTAxφρGρAdddTAxGAddd2p2dIAρA结论pddGITxρρ代入物理关系中得到PIT式中：T—横截面上的扭矩—求应力的点到圆心的距离IP—为横截面对圆心的极惯性矩Wt称作抗扭截面系数，单位为mm3或m3.2、的计算maxtmaxppmaxmaxWTITITmaxptIWrOTdAdAρρρmax（1）实心圆截面dO3、极惯性矩和抗扭截面系数的计算AAId2pmaxPtIW)d(π2dA32πdπ2d42032pdAIdA16π2/32/π34maxptdddIWρdρODdρdρ（2）空心圆截面32)1(π44pDI)1(16π43tDW其中Dd例题2图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，M1=6kN·m，M2=4kN·m，材料的剪切弹性模量G=80GPa.(1)画轴的扭矩图；(2)求轴的最大切应力，并指出其位置.M1M2ABCll（1）画轴的扭矩图M1M2ABCllBC段1M2CT1T1+M2=02M2CM1BT2T2+M2-M1=0T2=2kN·mAB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩发生在BC段Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_T（2）求轴的最大切应力，并指出其位置max最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径.tmaxmaxWTM1M2ABCllMPa5.34)1(16π43maxDTmax1、数学表达式四、强度条件2、强度条件的应用强度校核设计截面确定许可核载荷][tmaxmaxWT][tmaxWT][maxTA][maxAT(Torsion)(Torsion)(Torsion)ABC解：作轴的扭矩图MAMBMC22kN·m14kN·m+_分别校核两段轴的强度例题3图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC段的直径d2=100mm.扭转力偶矩为MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m.已知材料的许用切应力[]=80MPa，试校核该轴的强度.][MPa84.6416/)12.0(π102216/π33311t11max1dTWT][MPa3.7116/)1.0(π101416/π333222t2max2dTWT因此，该轴满足强度要求.例题4实心圆轴１和空心圆轴２（图a、b）材料、扭转力偶矩m和长度l均相等，最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比为=0.8，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.2max1maxll(a)(b)分析：设实心圆截面直径为d1，空心圆截面的内、外径分别为d2、D2;又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为T.已知：2t2max1t1maxWTWTdd2D22t1tWTWT16)1(π16π432312t1tDdWW因此16)1(1643231Dd解得194.18.0113412dD两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比，512.0)8.01(194.1)1(4π)(4π222122221222212dDddDAA在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.1、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角来度量的§3-5杆在扭转时的变形·刚度条件一、扭转变形其中d代表相距为dx的两横截面间的相对扭转角.长为l的一段杆两端面间的相对扭转角可按下式计算pddGITxxGITllddp[]称作许可单位长度扭转角3、刚度条件2、单位长度扭转角—扭转角GIP称作抗扭刚度PGITlm)rad(PGITl][maxm)rad(][PmaxmaxGIT/m)(180maxpGIT/m)(180°=pGIT例题5图示等直杆，已知直径d=40mm，a=400mm，材料的剪切弹性模量G=80GPa，DB=1°.试求：（1）AD杆的最大切应力；（2）扭转角CA.aa2aM2M3MABCD+M2M3M解：画扭矩图计算外力偶矩MDB=CB+DC=1°Tmax=3Me1π180)2(pepeGIaMGIaM（1）AD杆的最大切应力MPa7.69tmaxmaxWTmkN292eM（2）扭转角CA33.2π180)23(pepeGIaMGIaMCBBACAaa2aM2M3MABCD+M2M3M例题6某汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成，钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩M=1.98kN·m,材料的许用剪应力[]=100MPa，剪变模量为G=80GPa，轴的许可扭角[′]=2/m.试校核轴的强度和刚度.DdtMM解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内，外径之比由强度条件由刚度条件934.02DtDDdmm1006.22/4ptDIW][MPa1.96tmaxmaxWT4544Pmm1083.732)1(πDI][m/81.1π180PmaxmaxGITmkN98.1MTDdtMM将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使max=96.1MPad=47.2mm实心轴的直径为两轴材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.MPa1.9616/π3maxmaxdT其截面面积为22mm17494πdA实空心轴的截面面积为222mm5774)7176(π空A512.0)8.01(194.1)1(4π)(4π222122221222212dDddDAA例题7两端固定的圆截面杆AB，在截面C处受一个扭转力偶矩M的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度GIP，试求杆两端的支反力偶矩.CMabABl解：去掉约束，代之以支反力偶矩这是一次超静定问题，须建立一个补充方程.ACBMMAMBC截面相对于两固定端A和B的相对扭转角相等.杆