材料力学能量法.

能量法第十二章能量法§12-1功能原理在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称应变能。物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即Ve=W能量法§12-2杆件应变能计算一、轴向拉伸和压缩WVεPPll12Pl12PPlEAEAlFEAlP222N2lxxEAxFVd)(2)(2Nε能量法二、扭转WVemm12m122222mmlGImlGITlGIppplpxxIGxTVd)(2)(2e能量法三、弯曲WVe纯弯曲：横力弯曲：lxxIExMVd)(2)(2e12mIElmm21mlEIMlEI2222能量法例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。能量法解：xPxM)(lxIExMVd2)(2εlxIEPx02d2)(PlEI236BwPW21，得由WVεEIPlwB33)(能量法例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。能量法解：lxIExMVd2)(2ePbEIlaPaEIlb222322232323CwPW21baxIExlPaxIExlPb02220121d2d2PabEIl2226，得：由WVelEIbPawC3221xlPb2xlPa能量法§12-3应变能的普遍表达式组合变形杆件应变能llplxxIExMxxIGxTxxAExFVd)(2)(d)(2)(d)(2)(222Nε能量法例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知GIp、EI为常量。能量法解：,()sinMPRWPAV12，得：由WVeAVpPRGIPREI32233RellpRIEMRIGTVd2)(d2)(22TPR()(cos)13442323PRGIPREIpS能量法例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI为常量。能量法解：MPR()sinWPBV12得：　由,WVeBVPREI34RelRIEMVd2)(2(sin)PREIR2022dPREI238能量法§12-4互等定理载荷作用点位移发生点ij能量法功的互等定理:PP112221位移互等定理:若，则得PP121221能量法例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移ΔC。能量法vC1B221BCmwP解：由功的互等定理IElPmwPC2221得：IElmwCC821由此得：能量法例：长为l、直径为d的圆杆受一对横向压力P作用，求此杆长度的伸长量。已知E和m。能量法解：由位移互等定理知，①杆的伸长量等于②杆直径的减小量ldd①②eedPAEd4PdE能量法例：已知简支梁在均布载荷q作用下，梁的中点挠度。求梁在中点集中力P作用下(见图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。IElqw38454A能量法IElqPAq38454AIElPA38454能量法§12-6虚功原理niiiPW1＝i3PP1P23PP1P2能量法1.在虚位移中，杆件原有外力、内力保持不变，且始终是平衡的；2.虚位移满足边界条件和连续性条件；3.符合小变形要求；4.是实际发生的位移。能量法NF)(dlNFdMMsFsFddd)(ddNsFMlFW内dd)(dNsFMlFW内能量法dd)(dNsFMlFW内niiiPW1＝外dd)(dN1sniiiFMlFP能量法虚功原理：在虚位移中，外力所做虚功等于内力在相应虚变形上所做虚功（外力虚功等于杆件虚变形能）ddd)(dN1TFMlFPsniii可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。能量法§12-7单位载荷法莫尔积分P1P2C用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法能量法)()(sxMxF)()(sxMxFP1P2CCP01xIExMd)(dlxIExMxMd)()(dQdd)(dN1TMlFPniiid)(1xM能量法莫尔定理（莫尔积分）llplxIExMxMxIGxTxTxAExFxFd)()(d)()(d)()(NN移对应的广义力把单位力看成与广义位应看成广义位移，注意：上式中δlxIExMxMd)()(对组合变形能量法例：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。PABABABlxxx11能量法11xxMPxxMbB)(,)()(,)1(　　所示如图截面作用一单位力在解：lBxIExMxMwd)()(PxEIxl20dPlEI331)(,)()(,)2(xMPxxMcB　　所示如图截面作用一单位力偶在lBxIExMxMd)()(PxEIxld0PlEI22能量法例：计算图（a）所示开口圆环在P力作用下切口的张开量ΔAB。EI=常数。能量法)cos1()(PRMd0d)()(2RIEMMAB21220PREIR(cos)d33PREI)cos1()(RM能量法F123456AB已知各杆抗拉压刚度均为EA，求B点的铅垂位移。AB1lxAEFFdNNiiilFFAENN1能量法杆编号杆长123456iiilFFNNiFNiliFNF123456ABAB1F2l2Fl0llll2F2F1F2F0102FlFl22Fl2000EAFllFFiii)223(NN能量法§13-8计算莫尔积分的图形互乘法在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：lxIExMxMd)()(lxxMxMd)()(对于等直杆，EI=const，故只需计算积分能量法tg)(xxMlxxMxMd)()(tgxCCM)(xMx)(xMyyCMlxxMxd)(tg能量法　IEM　xIExMxMCld)()()(xM)(xMCMC能量法顶点顶点23lh13lh二次抛物线能量法例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。能量法解：IEM　　xIExMxMwClBd)()(12232EIPllPlEI33M能量法BEIPl1212PlEI22顺时针M能量法例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。能量法解：325823222maxlqllIEw53844qlEIql28/l/4M能量法max1238122EIlqlqlEI324ql28/M能量法例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。能量法解：642212maxlPllIEwPlEI348Pl/4l/4M能量法max112412EIlPlPlEI216Pl/4M能量法例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。能量法解：IElmwC162l/4M能量法AEIml1213mlEI6顺时针M能量法BEIml1223mlEI3逆时针M能量法例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。能量法解：432312lqllIEwBqlEI48ql22M能量法BEIlql13212qlEI36顺时针ql22M能量法例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。能量法解：mlIEwC812mlEI28M能量法例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。能量法解：APaEIPaEI22125612162212PaEI2M能量法12322312133IEPaIEPawE13123PaEIM能量法例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求：(1)集中力作用端挠度为零时的X值；(2)集中力作用端转角为零时的X值。能量法解：(1)212322322132aqlaXaaXalIEwC0ql28/Xqlala38()M能量法(2)CEIXalXaql1223211212230ql28/Xqlala3423()M能量法例：图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移ΔAH和转角θA。能量法解：qa2qa/2qaqa22AHqaEIqaEI441423135838能量法例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。能量法解：32232aPaIEwCPaEI3能量法例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两截面的相对角位移θAB和沿P力作用线方向的相对线位移ΔAB。能量法解：ABPaEI21813212123233PaEIAB0