材料力学课件第七章弯曲应力.

12§7–1纯弯曲§7–2纯弯曲时的正应力§7–3梁横截面上的切应力§7–4梁的正应力和切应力强度条件§7–5梁的合理截面第七章弯曲应力§7－１纯弯曲1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q切应力t弯矩M正应力s平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)2、研究方法纵向对称面P1P2例如：平面弯曲时横截面t横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。PPaaABQMxx纯弯曲(PureBending):§7－2纯弯曲时的正应力1.纯弯曲实验①横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；（一）梁的纯弯曲实验纵向对称面bdacabcdMM②纵向线变为曲线，且上缩下伸；③横向线与纵向线变形后仍正交。④横截面高度不变。纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。2.推论3.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层纵向对称面中性轴（横截面上只有正应力）（二）几何方程：(1)......yxabcdABz11111OOBAABABBAx)))OO1)yyddd)(横截面上任一点的纵向线应变与该点到中性层距离成正比（中性轴上应变为零，一侧拉应变，一侧压应变）A1B1O1Odyy（三）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。(2)......sEyExxsxsx（四）静力学关系：0dddszAAAxESAyEAEyAN轴过截面形心中性)(0zSz①0dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM（∵y为对称轴，自动满足）zzxxIyMyEEszzEIM1……(3)EIz杆的抗弯刚度。(4)......zxIMys②③中性层曲率：MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22（五）最大正应力：zWMmaxs……(5)DdDda)1(3243maxaDyIWzz圆环bmaxyIWzz抗弯截面模量。d621223maxbhhbhyIWzz矩形322/64/34maxdddyIWzz圆形例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。Q=60kN/mAB1m2m11x+M82qLM1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM30Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zykNm5.678/3608/22maxqLM451233m10832.5101218012012bhIz34m1048.609.0/zzIWMPa7.6110832.560605121zIyMss求应力18030x+M82qLMPa6.921048.610006041max1zWMsm4.194106010832.51020035911MEIzMPa2.1041048.610005.674maxmaxzWMs求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030x+M82qL§7－3梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截面上的切应力1、两点假设：切应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，切应力相等。2、研究方法：分离体平衡。在梁上取微段如图b；0)(112dxbNNXtdxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dx图a图bzs1xys2t1t图c在微段上取一块如图c，平衡dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dx图a图bzzAzAIMSAyIMANdd11szzISMMN)d(:2同理zzzzbIQSbISxMdxbNNdd)(121t由切应力互等zzbIQSy1)(tttzs1xys2t1t图c横力弯曲时,横截面上切应力的计算公式.)4(2)2(22d22yhbyhbyhAyAyScAzzySz*为面积A*对横截面中性轴的静矩.式中:Q--所求切应力面上的剪力.IZ--整个截面对中性轴的惯性矩.Sz*--过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩.b--所求应力点处截面宽度..,,,,:即随高度变化变化只随则一般也不变定，、则如截面确定公式中注意zzzSbIzQbIQSttyA*yc*18tt5.123maxAQ)()4(222为二次抛物线矩yhIQztQt方向：与横截面上剪力方向相同(不考虑正负号)；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。中性轴上有最大切应力.为平均切应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的切应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：zzbIQS1t其中Q为截面剪力；Sz为y点以下部分面积对中性轴之静矩；2、几种常见截面的最大弯曲切应力Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b为y点处截面宽度。①工字钢截面：maxtmint结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。Af—腹板的面积。;maxAQtf腹板最大弯曲切应力:)/(maxmaxzzSIdQtd;maxAQtf铅垂切应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin故工字钢最大切应力②圆截面：tt3434maxAQ③薄壁圆环：tt22maxAQ④槽钢：xyzPQRRzzbIQS，合力为腹板上;t。合力为翼缘上HzIQA;21t0xMRHheQeQehHR§7-4梁的正应力和切应力强度条件1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。QtsssMt2、正应力和切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）ttzzIbSQmaxmaxmaxsszWMmaxmax3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：tsQtsM4、需要校核切应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M较小，而Q较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：][];[maxmaxttss][maxsMWz)(][];[maxmaxMfPWMzs解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0.9MPa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mABL=3mQ2qL2qL–+xx+qL2/8M求最大应力并校核强度应力之比7.1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mQ2qL2qL–+x][7MPa6.25MPa18.012.040506622maxmaxmaxssbhMWMz][0.9MPa0.375MPa18.012.054005.15.1maxmaxttAQx+qL2/8My1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？kN5.10;kN5.2BARR)(kNm5.2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx-4kNm2.5kNmM校核强度MPa2.2810763885.2822zCLAIyMsMPa2.2710763524813zBLAIyMsMPa2.4610763884824zByAIyMsLLss2.28maxyyss2.46maxT字头在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4x-4kNm2.5kNmMA3A4（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著«营造法式»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为刚度最大。时强度最大时,3;,2bhbhbh§7-5梁的合理截面AQ3433.1mmaxtt3231DWz13221.186)(6zzWRbhWmmax5.1tt)2/(;,41221DRaaD时当1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面强度：正应力：切应力：sszWMttzzbIQS*(二)其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaamtt2max143375.2)0.8-(132zzWDW1222167.1,4])8.0([4DDDDD时当1121212,24DaaD时当1312467.1646zzWabhWmtt5.1maxzD0.8Da12a1z)(=3.2mmaxfAQtt工字形截面与框形截面类似。1557.4zzWW1222222105.1,6.18.024DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：2、根据材料特性选择截面形状sGz（三）采用变截面梁，如下图：最好是等强度梁，即][6/)()()()()(2maxssxbhxMxWxMx若为等强度矩形截面，则高为][)(6)(sbxMxh同时][)(5.1maxttxbhQ][5.1)(tbQxhPx45