主观期望效用模型在保险产品定价中的应用

主观期望效用模型在保险产品定价中的应用厦门大学金融系厦门保监局何凯浩厦门大学金融系郑振龙[摘要]效用理论一直是研究在风险和不确定条件下进行合理决策的理论基础，但是，由于多数决策者的决策行为与期望效用理论所规范的“合理决策”模式不相吻合，这种对效用理论合理性方面的挑战使在传统的期望效用理论下确定的保费价格的合理性也受到了普遍的怀疑。本文首先述评了期望效用理论对保险定价的可行性方面的解释，指出其中的不足之处；然后运用主观期望效用模型对保险定价的可行性进行解释说明，指出保险定价可行的根本原因在于保险人和投保人所处的不同风险环境，而不在于两者效用函数之间的差别。关键词：主观期望效用、保险产品、定价一、期望效用理论在保险定价中的应用述评∗虽然在保险教科书和保险精算实务中都常用“纯保费＋附加保费”的模式来对保险产品进行定价。但从理论上说，保险产品作为一种商品，和其它商品一样，其价格在本质上是由市场的供求关系决定的，它的特殊性仅仅体现在它不是在对有形的产品而是要对无形的“风险”定价。这里可以把风险理解为理赔或损失随机变量。这样一来，保险定价在形式上就是要建立一种价格尺度，使得可以用一种确定的量（保费）去衡量一个不确定的损失。但是，随之会产生的一个问题就是由谁来决定这种价格尺度以及它的合理性体现在什么地方？这是保险经济学首先应该回答的问题。保险产品作为一种商品，和其他商品一样，必须满足商品的社会性，它在市场上的运作之所以能够成功是因为它能满足人们的主观需要，人们通过购买保险能够获取与他（她）所支付的价格相匹配的主观满足。在经济学中，通常是用效用理论来衡量一定量的物品或财富给人们带来的满足程度的。我们现在就先从经济学中的期望效用理论（ExpectedUtilityTheory，EU）、从合理决策的角度来看∗本节主要参考文献[8]待保险定价的问题。为此，我们分别从投保人和保险人的价值结构来看看保费定价的“合理性”。假定某人拥有价值为W的财产，但这笔财产面临着某种潜在损失，这一风险被表示为随机变量X，满足0≤X≤W，其概率分布记为F(x)。现在的问题是他应支付多大一笔保费H去（全额）投保这笔财产？很显然，根据效用原理，保费H对财产持有人（投保人）来说是付得越少越好，其所愿意支付的昀高保费（临界值）是当“投保的效用”等于“不投保的效用”时所对应的解，即使得投保人觉得在那个保费下保与不保无所谓的临界值。若决定投保，则无论损失是否发生，财产持有人仅损失所付出的保费H，仍确定地拥有W-H，对于财产持有人的效用为u(W-H)；若决定不投保，则其昀终的财产实际上是不确定的，为随机变量W－X，其期望效用为：0ˆ()(())()()WuWXEuWXuWXdFx−=−=−∫（1.1）因此，对财产持有人来说，保费H应满足：ˆ()()uWHuWX−≥−（1.2）H越大，W－H就越小，投保的效用u(W-H)也就越小，当H高到使等号成立时，财产持有人就觉得保与不保都无所谓了，这样，财产持有人愿意接受的昀高保费H*就是使得（1.2）式等号成立时的解。现在再从保险人的角度来考虑，假设保险人所要求的保费为G，若要承保，则可以在保险人原来财富v的基础上增加一笔保费收入G，但得替投保人承担风险，其财富变成了随机变量v+G-X。那么，保险人应该收取多少保费去承保财产持有人的风险呢？类似地，G对保险人来说是越高越好，在G一定时，保险人承保财产持有人的风险时的效用为：0ˆ()(())()()WuvGXEuvGXuvGXdFx+−=+−=+−∫（1.3）若保险人决定不承保财产持有人的风险，则保险人将确定性的拥有自己原来的资产v，他在不承保时的效用即为：u(v)。这样，对保险人来说，决定承保的保费收入G必须满足下面的效用不等式：ˆ()()uvuvGX≤+−（1.4）即保险人承保风险的效用应该不小于不承保时的效用。G越小，承保的效用ˆ()uvGX+−就越小，当G小到使等号成立时，承保对保险人来说已经没有任何吸引力，所以保险人愿意接受的昀低保费G*就是使得（1.4）式等号成立时的临界值。因此，只有当投保人愿意付出的昀高保费H*大于保险人愿意接受的昀低保费G*时，一份保险合同才能够在介于G*和H*之间的价位成交，这样的价格才是互利的，因而是“合理”的。图1.1直观地说明了临界保费H*、G*与纯保费E(X)已经实际价格P之间的关系：由效用原理知道大多数人厌恶风险的，即其效用函数是一个凹函数，则有：E[u(X)]≤u[E(X)]。所以，投保人愿意付出高于纯保费E(X)的价格，即H*E(X)。如果H*G*则无法成交；所以，保险人与投保人之间保险合同要签订的必要条件是：H*G*，这时我们称[G*,H*]为可行价格区域，成交价均衡保费P靠近哪个端点由其他市场因素如竞争因素等决定。P0E(X)G*H*图1.1纯保费、临界保费和均衡保费Fig1.1Netpremium、CriticalpremiumandLevelpremium但是，由于效用函数是一种主观的、因人而异并难以确定的东西，实际中不可能去讨论每个人具体的效用函数然后作出相应的决策。另一方面，H*G*要求保险人对相同的风险的“定价”低于投保人的“定价”，也就是说，保险人相对于投保人来说比较不厌恶风险，但是，保险人作为风险的承保者，其本身集中了大量的风险，对于单位风险的低估积累起来以后对保险人来说是灾难性的；另外，效用函数描述的是决策者对待财富或其他物质的主观满足感，H*G*要求保险人和投保人在效用函数的凹凸性方面存在差异，即保险人的效用函数相对投保人更为平坦，但效用函数这种主观的、因人而异并难以确定的东西，目前没有客观的证据证明保险人与投保人对待财富或其他物质的主观看法存在差别。此外，对效用理论的另一种质疑是现对于效用理论本身的合理性而言的，人们发现许多决策者的决策行为往往与期望效用理论所规范的“合理决策”模式不相吻合，如著名的Allais悖论等，这是一种更为深刻的挑战。综上所述，传统的期望效用理论虽然在一定程度上描述了保险市场上保险人与投保人之间如何对承保风险的“价格”的合理确定，但是由于效用函数的主观性及传统的期望效用理论本身的“合理性”存在的问题使得传统的期望效用理论在保险定价中的应用缺乏客观性，在其理论体系下的定价过程及结果的合理性也就不可避免的被广泛的质疑。二、主观期望理论及其在保险定价中的应用2.1主观期望效用模型概述2.1.1期望效用理论的改进回顾针对以上提出的关于传统的期望效用理论在实践和实验研究中出现的那些问题，特别是针对昀具有代表性的Allais悖论，许多经济学研究者都对此做出了深入的研究和分析，并做出了有针对性的使期望效用理论一般化的方式：Kahneman（1978）提出了主观权重效用（SubjectivelyWeightedUtility，SWU）的概念，用决策者主观的权重替代线性概率，这可以解释Allais问题和共同比率效应；后来，Kahneman和Tversky（1979）提出著名的“前景”理论（ProspectTheory，PT），作为风险决策的描述性模型，是对EU的批判，也是对SWU的进一步发展，其核心为价值函数和权重函数，可以解释EU无法解释的选择异象。但是主观权重代替客观概率也遇到了一些问题，首先是主观权重之和不再为1，根据PT理论，权重之和可以大于1也可以小于1，从而导致权重函数变成一个非概率测度；此外，Ellsberg悖论也给主观权重理论提出了质疑：Ellsberg悖论Ellsberg在1961年曾经设计了一个经济学实验：假设有一个共装有90个红、黑、黄三色球的坛子，这些球除了颜色不同外没有其他任何差异。这90个球中有30个红球，黑球和黄球共60个。参与者通过从坛子中取球来决定其获得的回报，在取球前参与者面临两组选择：f1、f2和f3、f4，各自的回报和获取条件如下表所示（单位：万美元）：绝大多数参与者在第一组选择中选择了f1，在第二组选择中选择了f4。但这种选择正好无法用主观概率的观点来解释，因为在第一组中选择f1，说明参与者主观判断认为取出红球的概率的rp大于取出黑球的概率bp；因此，无论其对取出黄球的主观概率yp是多少，在面对第二组选择时都应该选择f3，因为ybyrbrpppppp++⇒相反的实验结果使主观权重作为人们在有不确定时决策的根本依据的假设受到了质疑。后来仍有很多研究者对期望效用理论做出改进，建立了不少这方面的模型，其中昀为知名的模型是依赖排序期望效用理论。该理论由JohnQuiggin提出，该理论被Machina（1994）认为是对经典期望效用理论昀自然和昀有用的修正。在该模型中，期望结果的权重不仅取决于结果的真实概率，且取决于该概率在其他结果中的排列顺序。对结果xi定义xn为昀差，x1为昀好，决策者昀大化决策权重:wi=π(p1+...+pi)-π(p1+...+pi-1)且w1＝π(p1)该理论区分了决策权重w和概率权重π非常有意义。注意到π(p1+...+pi)是获得大于或等于xi的结果的主观权重，而π(p1+...+pi-1)则是获得比xi更好结果的主观权重，因此，该理论中的π(·)实际上是累积概率的转换。RichardGonzadez和GeorgeWu（1999）认为概率权重函数的解释反映了潜在的“心理风险”，即个体主观地破坏了客观概率。该理论一个很有吸引力的性质就是，不同于单一的决策权重模型将同样的决策权重分配给任何有概率p的结果，它会将分配到结果的权重根据有多“好”和多“坏”来变化，所以原则上它会允许极端的结果获得尤其高（或尤其低）的权重。但是，该模型在将概率反应函数转化为主观概率时简单的使用累计概率转换，前一项概率的变化可能只对后面部分结果有影响，而不是对事件整体有影响，无法描述决策者对不确定性选择的整体判断。国内在效用理论这方面的研究比较少，大部分相关的论文都是以综述的形式来描述效用理论及关于效用理论方面的质疑和改进；但也有部分学者在这方面做了一些研究，其中王愚、达庆利、陈伟达（2002）则在分析Allais悖论的基础上提出了模糊先验概率的概念，对Allais悖论等问题做出了一定的解释。何凯浩、谭忠（2003）建立了安全系数的概念，并用安全系数代替期望效用理论中的概率系数，建立主观期望效用模型，用这个模型可以解释Allais悖论等问题。总之，风险和不确定性选择是等级依赖的，决策者对结果关注的顺序对主观概率判断有重要影响；效用函数和权重函数的形状、形式（累积与否）及影响因素仍是争论的重点。2.2.2主观期望模型（1）确定性效应函数（CertaintyEffectFunction）通过上面的一系列与期望效用理论不一致的选择行为和众多经济学家、心理学家的研究表明：如同人们会对不同的物质或服务产生主观的反应即效用一样，人们对概率也存在一种主观上的判断，在不同的情况下人对风险变化的敏感度是不一样的，即便这个风险能给人带来相同的回报。例如Allais悖论中，人们在A、B两组的第一个选择中同样地面对着1％的额外风险，但是在A中，人们选择了规避风险；而在B中，人们却选择了冒这个风险。一般认为，人都有一种倾向于确定性的心理，即在可以确定地获取财富的时候，人们都倾向于稳妥地获取这个财富，而不愿意去承担风险。也就是当概率p→1的时候，人会对p变化会比较敏感而显得比较厌恶风险；而当p1时，人们对p的变化的敏感度比较低，从而显得会比较愿意冒险，这就是确定性效应。因此，类似于通过效用函数u(x)来描述人会对财富或其它物质产生的主观反应；我们可以构造一个确定性效应函数v(p)，通过这个函数反映决策者对概率p的主观判断，用来描述人们对概率p的主观态度。v(p)应满足以下性质1：性质1、0)0(;1)1(==vv。即对于概率p＝1的事件，其确定性效应为1；而对于p＝0的事件，其确定性效应也为0。性质2、)10(,0)(,0)(≤′′′ppvpv。显然，概率p越大，给人的安全感就越强，确定性效应也就越大，即0′v；同时，p越大，v(p)对p的变化就越敏感，也就是v(p)的