【人教版八年级数学上册】第十一章--三角形-小结与复习

第十一章三角形小结与复习要点梳理考点讲练课堂小结课后作业腰和底不等的等腰三角形要点梳理1.三角形的三边关系：2.三角形的分类三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.按边分按角分不等边三角形等腰三角形等边三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形3.三角形的高、中线与角平分线高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线相交于一点，如图.中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点（重心），如图.角平分线：三条角平分线相交于一点，如图.4.三角形的内角和与外角(1)三角形的内角和等于180°；(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.5.多边形及其内角和n边形内角和等于(n-2)×180°(n≥3的整数）.n边形的外角和等于360°.正多边形的每个内角的度数是正多边形的每个外角的度数是(2)180,nn360.n在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正多边形的各个角都相等，各条边都相等的多边形.考点一三角形的三边关系例1已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得8-3a8+3,∴5a11.又∵第三边长为奇数,∴第三条边长为7cm或9cm.考点讲练三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是.6x12归纳针对训练例2等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另两边长.解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，∴分两种情况讨论：当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5,5；当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.综上所述，另两边长为5,5或6,4.【变式题】已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为()A.16B.20或16C.20D.12C归纳等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意三边是否构成三角形.2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为.5针对训练考点二三角形中的重要线段例3如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长．解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD=BD，∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，∴BC-AC=3，∵BC=8，∴AC=5．【变式题】在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．解：如图，∵DB为△ABC的中线，∴AD=CD，设AD=CD=x，则AB=2x，当x+2x=12，解得x=4.BC+x=15，得BC=11.此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．无图时，注意分类讨论例4如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积．解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×24=12，∴S△BCE=S△ABC=×24=12，∵点F是CE的中点，∴S△BEF=S△BCE=×12=6．12121212121212123.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）归纳三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.针对训练C4.如图，①AD是△ABC的角平分线，则∠_____=∠____=∠_____，②AE是△ABC的中线，则_____=_____=_____，③AF是△ABC的高线，则∠_____=∠_____=90°．12BAD12CADCABCEBEBCAFBAFC考点三有关三角形内、外角的计算例5∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x，则2x+3x+4x=180°，解得x=20°，∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思想设未知数列方程求解.例6如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°,所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.归纳5.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B=.针对训练60°6.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是，∠FBC的度数是.7.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，那么∠A的度数是.ABCEFABCDEO20°40°84°考点四多边形的内角和与外角和例7已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数.14解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则x+4x=180°,解得x=36°.∴边数n=360°÷36°=10.归纳在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.例8如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠CAD的度数．解：∵五边形的内角和是540°，∴每个内角为540°÷5=108°，∴∠E=∠B=∠BAE=108°，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形内角和定理可知∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°，∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°．【变式题】如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样的位置关系？为什么？解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：∵六边形ABCDEF的内角都相等，∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于120°，∴∠EDC=∠FAB=120°.∵∠1=∠2=60°，∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE，∵∠C=120°，∠2=60°，∴∠2+∠C=180°，∴AD∥BC.针对训练8.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．解：设这个多边形的边数是n，依题意得（n-2）×180°=3×360°-180°，（n-2）=6-1，解得n=7．∴这个多边形的边数是7．考点五本章中的思想方法方程思想例9如图，在△ABC中，∠C=∠ABC,BE⊥AC,△BDE是等边三角形，求∠C的度数.ABCED解：设∠C=x°,则∠ABC=x°,因为△BDE是等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠EBC=x°-60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理，得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以∠C=75°.在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.【变式题】如图，△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度数.ABCD)2413解：设∠1=x,根据题意得∠2=x.因为∠3=∠1+∠2，∠4=∠2，所以∠3=2x,∠4=x，又因为∠3=∠C，所以∠C=2x.在△ABC中，根据三角形内角和定理，得x+2x+2x=180°,解得x=36°,所以∠1=36°.归纳分类讨论思想例10已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是．【解析】由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.26或22【易错提示】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.化归思想ABCDO如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.例11如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.解析：所求问题不是常见的求多边形的内角和问题，我们发现，只要连接CD便转化为求五边形的内角和问题.ABCFGDE解：连接CD，由“8字型”模型图可知∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2）×180°=540°.三角形与三角形有关的线段三角形内角和：180°三角形外角和：360°三角形的边：三边关系定理高线中线：把三角形面积平分角平分线与三角形有关的角内角与外角关系三角形的分类多边形定义多边形的内外角和内角和：（n-2)×180°外角和：360°对角线多边形转化为三角形和四边形的重要辅助线正多边形内角=;外角=2)180nn（360n课堂小结见章末练习课后作业