深圳数学存在性问题中的问题

克维文化中考、高考培训专家+升学指导地址：深圳市南山区桃园路田厦商业大厦九楼天虹商场对面肯德基西侧Tel：0755-862225310755-26561589/6页1存在性问题中的问题存在性问题是中考常见的考题，它常以面积、周长的最值是否存在，特殊图形是否存在等形式出现，在平时的教学中，老师讲得比较广，学生也练得比较多，可在考试中还是会出现这样那样的问题。今天我们就以几个典型例题为例，分析一下学生经常出现的几个问题。问题一:考虑问题不全面，作答不完整例1：（2010年湖南省湘潭市）如图，直线6yx与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线cbxaxy2过A、C、O三点．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；(3)抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）A（6，0），B（0，6）连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则ABOC21，所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3）抛物线过点O，所以c=0,又抛物线过点A、C，所以3930366abab，解得：1,23ab所以抛物线解析式为xxy2312（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6所以OD=OB=OA，∠DBA=90o．又点B在圆上，故DB为⊙C的切线（通过证相似三角形得出亦可）（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，则∠CAP=90o或∠COP=90o,若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．又AP过点A（6，0），则b=－6,克维文化中考、高考培训专家+升学指导地址：深圳市南山区桃园路田厦商业大厦九楼天虹商场对面肯德基西侧Tel：0755-862225310755-26561589/6页2方程y=x－6与xxy2312联立解得：1160xy，2239xy，故点P1坐标为（－3，－9）若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）(用抛物线的对称性求出亦可)故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．同步练习1：（2009辽宁营口）如图，正方形ABCO的边长为5，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转后得到正方形A1B1C1O(＜45°），B1C1交ｙ轴于点Ｄ，且Ｄ为B1C1的中点，抛物线y=ax2+bx+c过点A1，B1，C1。（１）求tan的值；（２）求点A1的坐标，并直接写出点B1,点C1的坐标；（３）求抛物线的函数表达式及其对称轴；（４）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊿PB1C1为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。克维文化中考、高考培训专家+升学指导地址：深圳市南山区桃园路田厦商业大厦九楼天虹商场对面肯德基西侧Tel：0755-862225310755-26561589/6页3问题二：读题不清，忽视题目中的限制条件例2：（2010年辽宁省沈阳市）如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2c与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；(1)求拋物线的函数表达式；(2)如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合)。设点A的坐标为(m，n)(m0)。当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；在的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。[解](1)由拋物线y=ax2c经过点E(0，16)、F(16，0)得：cca161602，解得a=161，c=16，∴y=161x216；(2)过点P做PGx轴于点G，∵PO=PF，∴OG=FG，∵F(16，0)，∴OF=16，∴OG=21OF=2116=8，即P点的横坐标为8，∵P点在拋物线上，∴y=1618216=12，即P点的纵坐标为12，∴P(8，12)，∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，∴Q点的纵坐标为4，∵Q点在拋物线上，∴4=161x216，∴x1=85，x2=85，∵m0，∴x2=85(舍去)，∴x=85，∴Q(85，4)；8516m8；不存在；理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，xACDEFBOQPyBO(D)yxF(C)E(A)OyxFE圖1圖2備用圖克维文化中考、高考培训专家+升学指导地址：深圳市南山区桃园路田厦商业大厦九楼天虹商场对面肯德基西侧Tel：0755-862225310755-26561589/6页4∵P点在拋物线上，∴7=161x216，∴x1=12，x2=12，∵m0，∴x2=12(舍去)，∴x=12，∴P点坐标为(12，7)，∵P为AB中点，∴AP=21AB=8，∴点A的坐标是(4，7)，∴m=4，又∵正方形ABCD边长是16，∴点B的坐标是(20，7)，点C的坐标是(20，9)，∴点Q的纵坐标为9，∵Q点在拋物线上，∴9=161x216，∴x1=20，x2=20，∵m0，∴x2=20(舍去)，x=20，∴Q点坐标(20，9)，∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点。同步练习2：（2010年江苏省常州市）如图，已知二次函数23yaxbx的图像与x轴相交于点A、C，与y轴相较于点B，A（9,04），且△AOB∽△BOC。（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数23yaxbx的关系是；（2）在线段AC上是否存在点M（,0m）。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。克维文化中考、高考培训专家+升学指导地址：深圳市南山区桃园路田厦商业大厦九楼天虹商场对面肯德基西侧Tel：0755-862225310755-26561589/6页5问题三：理解不透，看问题凭直觉例3：（09丹东）已知：在平面直角坐标系中，抛物线32xaxy（0a）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线2x．（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图15，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图16，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（参考资料：抛物线)0(2acbxaxy对称轴是直线x2ba）解：（1）∵抛物线23yaxx（0a）的对称轴为直线2x．∴122a，∴14a，∴2134yxx．∴(24)D，．（2）探究一：当04t时，W有最大值．∵抛物线2134yxx交x轴于AB、两点，交y轴于点C，∴(60)A，，(20)B，，(03)C，，∴63OAOC，．当04t时，作DMy⊥轴于M，则24DMOM，．∵(0)Pt，，∴4OPtMPOMOPt，．∵PADAOPDMPOADMSSSS△△△梯形111()222DMOAOMOAOPDMMP111(26)462(4)222tt122t∴2(122)2(3)18Wttt∴当3t时，W有最大值，18W最大值．探究二：存在．分三种情况：①当190PDA°时，作DEx⊥轴于E，则2490OEDEDEA，，°，∴624AEOAOEDE．yxOCBADMP克维文化中考、高考培训专家+升学指导地址：深圳市南山区桃园路田厦商业大厦九楼天虹商场对面肯德基西侧Tel：0755-862225310755-26561589/6页6∴45DAEADE°，242ADDE，∴11904545PDEPDAADE°°°．∵DMy⊥轴，OAy⊥轴，∴DMOA∥，∴90MDEDEA°，∴11904545MDPMDEPDE°°°．∴12PMDM，1222PDDM．此时1324OCOAPDAD，又因为190AOCPDA°，∴1RtRtADPAOC△∽△，∴11422OPOMPM，∴1(02)P，．∴当190PDA°时，存在点1P，使1RtRtADPAOC△∽△，此时1P点的坐标为（0，2）．②当290PAD°时，则245PAO°，∴262cos45OAPA°，∴26226PAOA．∵423ADOC，∴2PAADOCOA．∴2PAD△与AOC△不相似，此时点2P不存在．③当390APD°时，以AD为直径作1O⊙，则1O⊙的半径222ADr，圆心1O到y轴的距离4d．∵dr，∴1O⊙与y轴相离．不存在点3P，使390APD°．∴综上所述，只存在一点(02)P，使RtADP△与RtAOC△相似．同步练习3：（09丰台）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5,0），B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若过点B的直线y=kx+n与抛物线相交于点C（2，m）,