材力第8章-压杆稳定

第8章压杆稳定第8章压杆稳定与刚体平衡类似，弹性体平衡也存在稳定与不稳定问题。细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效(failurebyloststability)，又称为屈曲失效(failurebybuckling)。第8章压杆稳定压杆第8章压杆稳定压杆第8章压杆稳定桁架中的压杆第8章压杆稳定液压缸顶杆第8章压杆稳定液压缸顶杆第8章压杆稳定火箭发射架中的压杆第8章压杆稳定高压输电线路保持相间距离的受压构件第8章压杆稳定压杆稳定性实验第8章压杆稳定工程构件稳定性实验第8章压杆稳定脚手架中的压杆第8章压杆稳定“Suchfailurescanbecatastrophicandleadtoalargelossoflifeaswellasmajoreconomicloss”.第8章压杆稳定什么是受压杆件的稳定性，什么是屈曲失效，按照什么准则进行设计，才能保证压杆安全可靠地工作，这是工程常规设计的重要任务之一。本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念，包括：平衡构形、平衡构形的分叉、分叉点、屈曲以及弹性平衡稳定性的静力学判别准则。然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界力。最后，本章还将介绍工程中常用的压杆稳定设计方法——安全因数法。第8章压杆稳定压杆稳定的基本概念不同刚性支承对压杆临界载荷的影响压杆稳定性设计的安全因数法结论与讨论临界应力与临界应力总图两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式第8章压杆稳定压杆稳定的基本概念第8章压杆稳定——压杆稳定的基本概念压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉判别弹性平衡稳定性的静力学准则细长压杆临界点平衡的稳定性第8章压杆稳定——压杆稳定的基本概念Δ压杆从直线平衡构形到弯曲平衡构形的转变过程，称为“屈曲”。由于屈曲，压杆产生侧向位移，称为屈曲位移。FPFPFP压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉第8章压杆稳定——压杆稳定的基本概念FPΔOFPFPFcrFcrF´PFPFcrΔFP分叉点(临界点)FPFPFPFP平衡路径第8章压杆稳定——压杆稳定的基本概念分叉点FPΔOFcr平衡路径平衡路径平衡路径的分叉点：平衡路径开始出现分叉的那一点。分叉载荷（临界载荷）：分叉点对应的载荷，用Fcr表示。第8章压杆稳定——压杆稳定的基本概念平衡构形——压杆的两种平衡构形(equilibriumconfiguration)FPFcr:直线平衡构形FPFPFcr:弯曲平衡构形(在扰动作用下)FP判别弹性平衡稳定性的静力学准则第8章压杆稳定——压杆稳定的基本概念FPFPFcr:在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是稳定的。FPFP判别弹性平衡稳定性的静力学准则（staticalcriterionforelasticstability）第8章压杆稳定——压杆稳定的基本概念FPFPFcr:在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是不稳定的。FPFP判别弹性平衡稳定性的静力学准则（staticalcriterionforelasticstability）第8章压杆稳定——压杆稳定的基本概念当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下，压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程称为屈曲（buckling）或失稳（loststability）。对于细长压杆，由于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲（bifurcationbuckling）。稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点（criticalpoint）。对于细长压杆，因为从临界点开始，平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称为临界载荷（criticalload）或分叉载荷（bifurcationload），用Fcr表示。第8章压杆稳定——压杆稳定的基本概念线性理论认为，细长压杆在临界点以及临界点以后的平衡路径都是随遇的，即：载荷不增加，屈曲位移不断增加。精确的非线性理论分析结果表明，细长压杆在临界点以及临界点以后的平衡路径都是稳定的。清华大学于20世纪90年代初所作的细长杆屈曲实验结果证明了非线性分析所得到的结论。细长压杆临界点平衡的稳定性第8章压杆稳定——压杆稳定的基本概念在很多情形下，屈曲将导致构件失效，这种失效称为屈曲失效（failurebybuckling）。由于屈曲失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因此工程设计中需要认真加以考虑。第8章压杆稳定——压杆稳定的基本概念两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式第8章压杆稳定——两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式从平衡路径可以看出，当w00时FPFcr。这表明，当FP无限接近分叉载荷Fcr时，在直线平衡构形附近无穷小的邻域内，存在微弯的平衡构形。根据这一平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程，以及端部约束条件，即可确定临界载荷。分叉点FPΔOFcr平衡路径平衡路径第8章压杆稳定——两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：第8章压杆稳定——两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式2P2d()()dFwMxwxxEIEI0dd222wkxwEIFkP2假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：第8章压杆稳定——两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式P()()MxFwx微分方程的解边界条件w(0)=0,w(l)=00dd222wkxwEIFkP2第8章压杆稳定——两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式()=sincoswxAkxBkx微分方程的解边界条件w(0)=0,w(l)=000sincos0ABklAklB＋1010sincosklklsin0kl根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零的条件是他们的系数行列式等于零：()=sincoswxAkxBkx第8章压杆稳定——两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式由此得到临界载荷最小临界载荷2cr2πEIFl22cr2πnEIFlsin0klπ,12,,,klnnEIFkP2第8章压杆稳定——两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式称为欧拉公式。得到屈曲位移函数lxnAxwπsin00sincos0ABklAklB＋10B其中A为未定常数。这表明屈曲位移是不确定的量。这与开始推导公式时假设压杆处于任意微弯状态是一致的。第8章压杆稳定——两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式()=sincoswxAkxBkx22cr2πnEIFln=1n=2n=3n=4第8章压杆稳定——两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式不同刚性支承对压杆临界载荷的影响第8章压杆稳定——不同刚性支承对压杆临界载荷的影响不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆，这些公式可以写成通用形式：2cr2πEIFl这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度，称为相当长度或有效长度(effectivelength)；为反映不同支承影响的系数，称为长度系数（coefficientof1ength），可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。第8章压杆稳定——不同刚性支承对压杆临界载荷的影响一端自由，一端固定＝2.0两端固定＝0.5一端铰支，一端固定＝0.7两端铰支＝1.0第8章压杆稳定——不同刚性支承对压杆临界载荷的影响需要注意的是,临界载荷公式只有在压杆的微弯曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。2cr2πEIFl第8章压杆稳定——不同刚性支承对压杆临界载荷的影响临界应力与临界应力总图第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图临界应力与柔度的概念三类不同压杆的不同失效形式三类压杆的临界应力公式临界应力总图与P、s值的确定第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即crcrpFA其中σcr称为临界应力(criticalstress)；σp为材料的比例极限。临界应力与柔度的概念第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图对于某一压杆，当分叉载荷FP尚未算出时，不能判断压杆横截面上的应力是否处于弹性范围；当分叉载荷算出后，如果压杆横截面上的应力超过弹性范围，则还需采用超过比例极限的分叉载荷计算公式。这些都会给计算带来不便。能否在计算分叉载荷之前，预先判断哪一类压杆将发生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极限的非弹性屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问题？回答当然是肯定的。为了说明这一问题，需要引进柔度或长细比（slenderness）的概念。第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图柔度或长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：li＝其中，i为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：AIi从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图222crcr2ππEIlFEAA用柔度表示的细长杆临界应力公式第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图细长杆——柔度大于或等于某个极限值p时，压杆将发生弹性屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为细长杆。粗短杆——柔度小于极限值s时，压杆不会发生屈曲，但将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。长中杆——柔度小于p，但大于或等于另一个极限值s时，压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态。这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。三类不同压杆的不同失效形式第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图需要特别指出的是，细长杆和中长杆在轴向压缩载荷作用下，虽然都会发生屈曲，但这是两类不同的屈曲：第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图分叉点FΔOFcr极值点Fcr中长杆在轴向压缩载荷作用下，其平衡路径无分叉和分叉点，只有极值点，这类屈曲称为极值点屈曲(limitedpointbuckling)。从平衡路径看，细长杆的轴向压力超过临界力后(如图所示)，平衡路径的分叉点即为临界点。这类屈曲称为分叉屈曲。对于细长杆，临界应力为三类压杆的临界应力公式222crcr2ππEIFEAA第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常用的是直线公式：crab其中a和b为与材料有关的常数，单位为MPa。三类压杆的临界应力公式第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材料)，故其临界应力即为材料的屈服应力:三类压杆的临界应力公式crs第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图临界应力总图与P、s值的确定根据三种压杆的临界应力表达式，在坐标系中可以作出关系曲线，称为临界应力总图(figuresofcriticalstresses)（细长杆）（中长杆）（粗短杆）第8章压杆稳定——临界应力与临界应力总图（细长杆）（中长杆）（粗短杆）根据临界应力总图中所示之关系，可以确定区分不同材料三类压杆的长细比极限值。令细长杆的临界应力等于材料的比例极限(图中的B点)，得到P2PπE＝若令中长杆的临界应力等于屈服强度