清北学堂物理竞赛模拟题

1一、（20分）如图系统，A重P，B重2P，C、D各重P/2，忽略斜面的摩擦．求(1)系统平衡时，α、β角各为多少?(2)如果将C、D之间的绳剪断,求剪断瞬间A、B的加速度.参考答案：(1)平衡时有对A对B对C、D可解得(2)在C、D之间的绳刚被剪断的瞬间，设C的加速度的水平分量为ax，竖直分量为ay，根据牛顿第二定律对A60cos30cos33260sin3321yxaagPTP对B60cos30cos230sin22yxaagPTP对CxyagPTTagPPTT230cos30cos2230sin1221由以上四式可解得gaaagaaayxByxA3323036360cos30cos332302160cos30cos二、（20分）有一水平放置的平行平面玻璃板H，厚3.0cm，折射率1.5n。在其下表面下2.0cm处有一小物S；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L，其焦距30cmf，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S位于透镜的主轴上，如图所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到2S的像就在S处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?参考答案：物体S通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。设透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别为A和B，S作为物，通过玻璃板H的下表面折射成像于点1S处，由图预解17-3，根据折射定律，有sinsinninr式中1.0n是空气的折射率，对傍轴光线，i、r很小，sintanii，sintanrr，则1ADADnSASA式中SA为物距，1SA为像距，有1SAnSA（1）将1S作为物，再通过玻璃板H的上表面折射成像于点2S处，这时物距为11SBSAAB．同样根据折射定律可得像距12SBSBn（2）将2S作为物，通过透镜L成像，设透镜与H上表面的距离为x，则物距2uxSB．根据题意知最后所成像的像距()vxSAAB，代入透镜成像公式，有2111fxSBxSAAB（3）由（1）、（2）、（3）式代入数据可求得1.0cmx（4）即L应置于距玻璃板H上表面1.0cm处。3三、（20分）贮气罐的体积为V，罐内气体压强为p，贮气罐经阀门与体积为V0的真空室相连，打开阀门，为真空室充气，达平衡后，关闭阀门，然后换一个新的同样的贮气罐继续为真空室充气，直到室内压强达到p0(p0p)设温度不变，试问共需要多少贮气罐。0010000VV1.,VVVVVVPVPVPVVRT摩擦系数00012200000VVV()2.(1),V(1)VVVVVVVnnRTPVPVVVV摩擦系数:210000K00000VVV3.::P[1()()][1()]VVVVVVKKVPVPVVVV依此类推达到平衡时0000,K=ln,.lnKPPPPKVpVV由的取整数四、（20分）如图所示，有一匀质细导线弯成的半径为a的圆线圈和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻值见图）。在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场，磁感应强度B随时间t均匀减小，其变化率的大小为一已知常量k。已知21r=32r。试求图中A、B两点的电势差AU-BU。参考答案：在各段电路上，感应电流的大小和方向如图复解13-1所示电流的分布，已考虑到电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，对半径为α的圆电路，可得π2ak=21r1I+1r1I对等边三角形三个边组成的电路，可得332ak/4=22r2I+22r2I对由弦AB和弧AB构成的回路，可得（π2a-332a/4）k/3=1r1I-2r2IABCOr1r2图复13-1r1r1r22r2ABCOr1r2图复解13-1r1r1r22r2I2I1I1′I2′I1I24考虑到，流进B点的电流之和等于流出B点电流之和，有1I+2I=1I+2I由含源电路欧姆定律可得AU-BU=π2ak/3-1I1r由以上各式及题给出的2r=21r/3可解得AU-BU=-32ak/32五、（20分）(1)B(2)D(3)右f实倒1。六、（25分）要发射一颗地球人造卫星，使它在半径为r2的预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r1的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动。在A点，突然使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道，并使它的远地点恰好在预定轨道上。当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行。试求卫星从A点到达B点所需的时间。设万有引力恒量为G，地球的质量为M21121222112121222121322121212112122,2()11()22212.24,2()22AABBAsAABABsABvrvrrGMvvvrrrGMrrMmMmrrrmvGmvGrrabtvrrarrTcarRGMbacrrrrrrtGM七、（25分）质量各为m和M的两物块用轻软的橡皮绳相连放在水平台面上，橡皮绳原长为a，伸长时犹如一倔强系数为k的弹簧，物体与台面的摩擦系数为μ，今将两物体拉开至相距b（ba）释放。求两物体从开始运动到相遇所经过的时间（设μ很小），以及相遇时两者的相对速度。设某时刻两者的距离5()xxa时,取地()MakxaMg取(),'2mMmMmMmakxamaMgakxgM',()2MmxxaFxakgM橡皮绳伸长量为回复力2kMM+m相当于有恒力mg作用,使平衡位置有所改变,并且等效劲度系数为k'=等效平衡位置022'()mgmgkxkMm故m振动角频率为0',kMmwkAbaxmM振幅有振幅矢量法,m振动到绳长a时,如图:1110111()()coscos[1]2()().cos[1]()2xbaMmkxAMmgMmbaMmktwMmkMmgm相对于M的速度为2220111'4v,'',()[]222()kmMgmvkxkAvbabamkMm有M2此后匀减:M加速度为-g,则m相对于的加速度为-g=a'2121'4()[],()vkmMgtbabatttagmkMm最后这时两者的相对速度为222','22,'()4MmvvvgavkbagbMm有0t0xA