清考《高等数学Ⅰ》(下)复习题

2012级《高等数学一》下清考习题册一、填空题1、向量1,2,1,1,1,2ab，则ba=)3,3,3(2、设向量1,2,3,1,1,2ab，则ba=)3,5,1(3、设两向量1,2,1,1,1,3ab，则ab)3,4,5(.4、设22(,)yfxyxyx，则(,)fxy=yyx1)1(25、二元函数)1ln(1),(22yxyxf的定义域是1022yx.6、设函数ln()zyxy，则其全微分dz=dyxydxxy))ln(1(7、(,)(1,0)11limxyxyxy-1.8、设(,)2fxyxy，则[,(,)]fxyfxy=xyyx429、设函数cos(2)xzyexy，则其全微分dz=dyyxedxyyexx)2sin2()2cos(10、级数1(23)nnnnx的收敛区间是=11(,)33.11、设曲线L是圆弧22(1)(2)4xy(1,2)xy则曲线积分Lds=12、设曲线L是立方抛物线3yx，从A（1，1）到B（0，0）的一段弧，则曲线积分Lxydxxdy=192013、点（1，2，1）到平面2310xyz的距离是314.14、设区域D由222xyy(0)x确定，将22()Dfxyd化为极坐标下的累次积分2sin200()dfd15、交换累次积分的积分次序，2212,xdxfxydy=4222(,)ydyfxydy16、过点(3,1,2)且与直线123243xyz垂直的平面方程为:016432zyx17、过点(3,0,2)且与平面2(1)(2)30xyz垂直的直线方程为：32123zyx18、级数121(1)(1)2nnnnxn的收敛半径R=2.19、设平面薄片D由：1,0,0xyxy围成，薄片的密度K，则平面薄片D的质量等于2k20、二元函数2223(,)ln(1)xfxyxy的定义域是2201xy.21、设向量1,2,1,1,0,2ab，则ba=(4,3,2)22、设(,)2fxyxy，则)(2),(yxxyyxxyf23、已知函数ln2zxyy，求微分dz=.1()ydxxdyy.24、函数2222ln(1)(,)2xyfxyxy的定义域是12xy25、设函数(,)lnxfxyxey，则[0,(2,1)]ffln226、级数11(1)3nnnnnx的收敛半径R=327、函数22221(,)ln(2)4fxyxyxy的定义域是2224xy28、求极限2222,0,011limxyxyxy-229、与向量1,2,2a同方向的单位向量是122,,33330、级数111(1)4nnnnxn的收敛半径R=4.二、单项选择题1、设向量1,2,3,1,2,4ab，则ab=（A）.A.7B.8C.（0，0，7）D.（0，0，8）2、设向量1,2,1,3,1,2ab，则ab=（B）.A.2B.3C.（0，0，2）D.（0，0，3）3、设曲线L为：22(1)(2)1xy，则曲线积分Lds(B).A.B.2C.3D.44、设2(,,)sin2fxyzxyz，则梯度(1,0,1)gradf(C).A.1B.3C.（0，1，2）D.（1，0，1）5、设(,)sinxfxyxyye，则梯度(0,)2gradf(D).A.0B.2C.(,0)2D.(1,0)26、下列级数收敛的是（D）．A.11nnB.13nnC.1lnnnD.11(1)nnn7、设曲线L为：22(2)(3)1xy，则曲线积分Dd=(A).B.B.2C.3D.48、交换积分次序：110,xdxfxydy（C）.A.1100,dyfxydxB.110,ydyfxydxC.100,ydyfxydxD.101,ydyfxydx9、(,)(2,1)222limxyxyxy（A）A.1B.2C.3D.410、两平面260xyz，250xyz的夹角是（B）.A.2B.3C.4D.611、设区域D为：22(2)(3)9xy，则二重积分2Dd=（C）.A.2B.9C.18D.2712、已知函数23(,)yfxyxe，求微分(,)dfxy=（D）A.32yxdxedyB.33yydxxedyC.3yxdxedyD.32323yyxedxxedy13、设级数为12(1)nnn，则此级数（B）．A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定收敛性14、交换累次积分2220,xxdxfxydy的积分次序，正确的是（A）．A.402,yydyfxydxB.40,yydyfxydxC.2220,yydyfxydxD.10,yydyfxydx15、已知直线123345xyz和平面2360xyz，则(C).A.直线平行平面B.直线在平面上C.直线与平面相交但不垂直D.直线与平面垂直相交16、设函数(,)ln()xfxyxyexy，则(,)xfyy（A）A.lnyxexB.lnyxeyC.lnyyeyD.lnyxyey17、当条件（C）满足时，等比级数为0nnq收敛．A.0qB.0qC.||1qD.||1q18、设区域D为：22(3)9xy，则线积分Lds=（D）.A.2B.18C.9D.619、设区域D由224xy确定，将22()Dfxyd化为极坐标下的累次积分是（A）．A.22200dfdB.22200dfdC.2200dfdD.2200dfd20、在下列级数中，收敛的级数是（D）．A.12nnB.1132nnC.11nnnD.211nn21、已知直线123234xyza与平面2560xbyz平行，则a与b的关系是(C).A.abB.3abC.310abD.430ab22、2(,)(0,)2cos()limxyxyxy=（A）A.2B.C.3D.223、设向量1,2,3,1,2,3ab，为a与b的夹角，则a与b的夹角余弦cos=（C）.A.12B.2C.27D.524、设平面曲线L：226xyy，则曲线积分Lds(D).C.B.2C.3D.625、设平面曲线L：226xyx，则曲线积分Lds(A).D.6B.4C.D.826、设2(,)ln2fxyxy，则偏导数(1,1)xf（D）.A.1B.12C.13D.1427、两平面260xyz，250xyz的夹角是（B）.A.2B.3C.4D.628、设级数为11(1)nnn，则此级数（B）．A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定收敛性29、已知L为圆周cos,sinxatyat02t，则曲线积分22()Lxyds=(A).A.23aB.3aC.3D.23a30、设函数(,)sin(2)xfxyexyy，则偏导数(0,)4yf(B).A.—2B.1C.5D.0三、计算题1、设函数ln()xzxxye，求2,.zzxxy解：/[ln()]xzxxxxyeln()1xxye2/[ln()1]yzxxyxye100xxy1y2、求二重积分2(3)Dxyd，其中D由2,0,xyyx围成。解：积分区域为D：020xyx所以2(3)Dxyd=2200(3)xdxxydy=122001(3)2|xxyydx=23201(3)2xxdx=243031()46|xx=3233、求函数二元函数22(,)621fxyxyxy的极值.解：26xfx22yfy令260xfx220yfy得驻点：（-3，1）2xxf,0xyf2yyf把驻点（-3，1）代入得：222040ACB且20A则在驻点（-3，1）有极小值；极大值是(3,1)11f4、计算Lxxdyyexdx22,其中L为从)0,0(O经圆弧22xxy到点)1,1(A的那一段.解：LyLxxdyyexdxdyyexdx222因为22:xxyxxL10:x，故Lxdxxdx1021又因yyyxL11:210:y，故)1(212110222edyedyyeLyy所以222edyyexdxLxx5、求幂级数nnxn)2(11的收敛域.解：因为1lim||lim11nnnnnnaa，所以收敛半径1R；由31121xx，收敛区间为)3,1(又当1x时，1)1(nnn收敛；当3x时，11nn发散，故收敛域为)3,1[.四、应用题1、求椭球面632222zyx在点)1,1,1(的切平面方程及法线方程。解：设632),,(222zyxzyxF，则zFyFxFzyx6,4,2，所以过点)1,1,1(的切平面的法向量为)6,4,2(n，因此切平面方程为：0)1(6)1(4)1(2zyx；法线方程为：614121zyx1、计算由曲面22yxz及22yxz所围立体的体积.解：所围立体的体积为21VVV其中1V是以D为底，以22yxz为顶的曲顶柱体的体积；其中2V是以D为底，以22yxz为顶的曲顶柱体的体积；1:22yxD所以6)()()]([2010222222dddddxdyyxyxVDD五、证明题证明：222)0,0(),(limyxxyxyx不存在.证明：令kxy则2222220222)0,0(),(1)1()(limlimkkkkxkkxyxxyxkxyxyx随着k的取值不同则极限值不同，所以222)0,0(),(limyxxyxyx不存在.