杨浦区数学卷定稿(理)2016

--(理科共7页)-1-否是结束输出Sk=1S=0k=k+2S=S+1k(k+2)k2016开始杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科）2016.1.考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.已知矩阵1012A，2413B，则BA_____________.2.已知全集U=R，集合102xAxx，则集合UAð_____________.3.已知函数34log2fxx，则方程14fx的解x=_____________.4.某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布_________平方米.5.无穷等比数列na(*nN)的前n项的和是nS，且1lim2nnS，则首项1a的取值范围是_____________.6.已知虚数z满足i61zz2，则z__________.7．执行如右图所示的流程图，则输出的S的值为________.8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是_____________.9.31nx展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为______________.--(理科共7页)-2-10.若数12345,,,,aaaaa的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32aaaaa的方差为____________.11.如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若(,)OBOEOFR,则____________.12.已知2243,023,0xxxfxxxx≤，当1a,ax时不等式2fxafax≥恒成立，则实数a的最大值是____________.13.抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为4的直线l交抛物线于点,AB，若AB中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为_______________.14.已知fx是定义在R上的奇函数，当01x时，2fxx，当0x时，11fxfxf，若直线ykx与函数yfx的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.下列四个命题中，为真命题的是（）A.若ab，则22acbcB.若ab，cd则acbdC.若ab，则22abD.若ab，则11ab16.设,ab是两个单位向量,其夹角为,则“36”是“1||ba”的（）OAEBFC--(理科共7页)-3-SDCBAA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,和两条直线,mn,下列命题中真命题是()A.若m,mn,则n‖B.若m‖,,则mC.若m‖，n‖，，则mnD.若m，n，，则mn18.下列函数中，既是偶函数，又在,0上递增的函数的个数是（）①xtany②xcosy③2xsiny④2xcotyA.1个B.2个C.3个D.4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。已知金字塔的每一条棱和边都相等（1）求证：直线AC垂直于直线SD.（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？--(理科共7页)-4-20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．某农场规划将果树种在正方形的场地内。为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树。在下图里，你可以看到规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：=果树n=4n=3n=2n=1=松树（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量na，及松树数量nb关于n的表达式.（2）定义：)n(f)1n(f*Nn为)n(f增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由.--(理科共7页)-5-AOCDMB21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看。问望远镜B的仰角应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角恰为45，求绿化带BD的长度（精确到1米）.解：.--(理科共7页)-6-oyx22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分如图，曲线由两个椭圆1T：222210xyabab和椭圆2T：222210yxbcbc组成，当,,abc成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.（1）若猫眼曲线过点0,2M，且,,abc的公比为22，求猫眼曲线的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为0kk且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T所得弦的中点为M，交椭圆2T所得弦的中点为N，求证：ONOMkk为与k无关的定值；（3）若斜率为2的直线l为椭圆2T的切线，且交椭圆1T于点,AB，N为椭圆1T上的任意一点（点N与点,AB不重合），求ABN面积的最大值.--(理科共7页)-7-23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知函数D)(xxf，若存在常数T（T0），对任意Dx都有xfTTxf，则称函数xf为T倍周期函数（1）判断xxh是否是T倍周期函数，并说明理由.（2）证明x41xg是T倍周期函数，且T的值是唯一的.（3）若)N(nnf*是2倍周期函数，11f，42f，nS表示nf的前n项和，1n2n2nSSC，若10)1a(logCan恒成立，求a的取值范围.--(理科共7页)-8-SDCBA理科评分参考一、填空题1.1-0432．,12,3．14．165.110,,1226．57．201710088．349．5610．3611．3212．213．x4y214．（264，436）二、选择题15．C16．A17．D18．A三、解答题19．（本题12分，第1小题6分，第2小题6分）解：（1）如图，连接,ACBD交于点O，则O为线段BD中点，--(理科共7页)-9-在正方形ABCD中，对角线ACBD（2分）在ASC中，SASC，SOACSOBDO，AC平面SBD（2分）ACSD（2分）（2）边长为3米（2分）棱锥的高2233221SO22（2分）229223331V2立方米（2分）答：需要229立方米填充材料.20．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）解：（1）n=5时果树25棵，松树40棵（2分）2nna（2分）n8bn（2分）（2）1n2n1naa22n1n（2分）8n81n8bbn1n（2分）当3n时，2n+18松树增加的速度快（2分）当4n时，2n+18果树增加的速度快（2分）--(理科共7页)-10-21．（本题14分，第1小题8分，第2小题6分）（1）逆时针15分钟转一圈，5分钟转过120（2分）过点C作CHAB于点H，则5050sin1209075CH（2分）15050cos12090150253BH（2分）75363tan11150253231CHBH，63arctan3511（2分）答：望远镜的仰角设置为35（2）在BCD中，35,45，80CDH（2分）75sin80sin80CHCD由正弦定理得：sinsinBDCD（2分）sin75sin4594sinsin80sin35CDBD（2分）答：绿化带的长度为94米.22．（本题16分，第1小题4分，第二小题6分，第三小题6分）（1）2b，2,1ac，（2分）221:142xyT，222:12yTx；（2分）（2）设斜率为k的直线交椭圆1T于点1122,,,CxyDxy，线段CD中点00,Mxy121200,22xxyyxy--(理科共7页)-11-由22112222142142xyxy，得12121212042xxxxyyyy（2分）k存在且0k，12xx，且0x001212012yyyxxx，即21kkOM（2分）同理，2kkON41kkONOM得证（2分）（3）设直线l的方程为2yxm222221yxmyxbc，222222222220bcxmcxmcbc0，2222mbc221:22lyxbc（2分）222221yxmxyab，222222222220baxmaxmaba0，2222mba222:22lyxba（1分）两平行线间距离：2222b2cb2ad3（1分）--(理科共7页)-12-222223222abacABba（1分）ABN的面积最大值为222222222222122abacbcbaSABdba（1分）注：若用第一小题结论，算得：2824544355AB22102102321dABN的面积最大值为14310221042553S得3分23．（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）（1）设：xhTTxh则xTTx对任意x恒成立（2分）T无解xxh不是T倍周期函数（2分）（2）设：xgTTxg则xTx41T41对任意x恒成立（2分）T41T--(理科共7页)-13-21T（2分）下证唯一性：若21T，214141T21T矛盾若21T，214141T21T矛盾21T是唯一的（2分）（3）212f21f3f2232f23f5f3252f25f7f1-n23-2n2f23-2nf1n2f1222211-2nf5f3f1fn1n2（2分）同理：