温岭二中柳荷红发言稿

平稳过渡返璞归真立足双基——近三年浙江高考理科立体几何大题的解法与想法温岭二中柳荷红各位老师：下午好！我讲的主题是“近三年浙江高考理科立体几何大题的解法与想法”。首先，我们浏览一下这三个题目，了解这三年理科立几大题考查的主要内容。年份考查内容2009年2010年2011年立体几何大题线面平行的论证、线面垂直的存在性及点到线的距离问题折叠问题、二面角的求法、折叠前后的不变性线线垂直的论证、面面垂直的存在性问题接下去我就详细阐述这三题的解法及一些粗浅想法。一、凸显新课程理念，实现平稳过渡浙江省自2006年开始实施高中新课程改革，09年是新课改以来的第一次高考，其命题思想和试题呈现方式倍受社会关注，必将对以后几年的高考命题和高考复习起引领作用。09年理科立体几何试题朴实常规试题难度适中，考查核心内容和通性通法，具有良好的导向功能，实现了平稳过渡。题目的新颖之处在于突破了近几年高考考查立几的问题，也是一个平时训练的重点与常规题。（2009浙江卷理）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,EFO分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．证明：（I）向量法：如图建立空间直角坐标系Oxyz，.平面BOE的一个法向量为(0,3,4)n，又由)3,4,4(FG得0nFG，又直线FG不在平面BOE内，因此有//FG平面BOE（I）综合法：取PE的中点H,连结HG,HF。可证得平面FGH//平面BOE又由FG在平面FGH内得//FG平面BOE另解：取BC中点Q,连结QG,QF,同理可证得//FG平面BOExyzABEHFOGPC（II）向量法：设点M的坐标为00,,0xy，则00(4,,3)FMxy，因为FM平面BOE，所以有//FMn，因此有0094,4xy，即点M的坐标为94,,04，在平面直角坐标系xoy中，AOB的内部区域满足不等式组008xyxy，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为94,4．（II）综合法：在平面OAP内，过点P作PN⊥OE，交OA于点N，交OE于点Q。连结BN，过点F作FM//PN,交BN于点M。可证得FM平面BOE。在OAPRT中，通过计算得ON=29OA,同时点M到OA，OB的距离分别为.4921,421ONOB想法：第一小题用几何法比较容易解决，但第二小题几何法就显得复杂了，因为需要添辅助线。认真解读09浙江高考数学考纲，明确指出能用向量方法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，强化用空间向量解决简单的立体几何问题。所以在复习教学中，要认真阅读考纲，注重通性通法。以空间几何体为载体的线面关系的判断、推理和证明，尤其是线线、线面、面面的平行和垂直的判断、推理和论证历来是高考数学的重点和热点，也是2009年命题的主流。从涉及的图形和试题呈现的方式看，考生感觉熟悉亲切，有利于稳定情绪，正常发挥；从考查的内容看，无论是线面平行的证明，还是有关线面垂直、面面垂直问题，都是立体几何的主干知识和重点内容，都围绕立体几何中最核心的位置关系“平行和垂直”而展开；从解决问题的方法看，既可以用综合法，又可以用向量法，两种解法”兼顾，统筹安排、相得益彰。BCEPGOFNQMA请说明理由。的距离，若不存在，到点若存在请求出平面使内是否存在一点）在平面证明的三等分点，靠近点是设，的三等分点靠近点为的三等分点靠近点分别为形，为斜边的等腰直角三角是以，平面平面变式：如图OBOAMBOEFMMABOBOEFGCOCGPCPAACCACOPPBPAFEACABCABCPAC,,,2(;//:)1(.1016,,,,,PFOGCBAE二、返璞归真，重立地位近年来的高考理科立体几何题，图形都是给定的，考生不需要画图，且过分推崇向量法，这给立体几何教学带来的影响是强化向量应用，削弱了基本定理教学．2010年的高考理科立体几何题一改往常面孔，返璞归真，考查了一个翻折问题，要求考生独立画出翻折后的立体图，还立几考查以本真．此题的设计可谓独具匠心，无论在取材背景还是命题立意上都令人耳目一新，体现了重基础、立意高、思路活，讲公平的命题特征。（2010理）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在线段AB，AD上，432FDAFEBAE．沿直线EF将AEF翻折成EFA/，使平面EFA/平面BEF．（Ⅰ）求二面角CFDA/的余弦值；（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与/A重合，求线段FM的长．解：（Ⅰ）向量法：如图建立空间直角坐标系A-xyz平面'AFD的一个法向量为(0,2,2)n，又平面BEF的一个法向量(0,0,1)m，故33,cosnmnmnm。因此二面角'ADFC的余弦值为33（Ⅰ）综合法：如图取线段EF的中点H,AF的中点G,易证'AGH为二面角2009042A/AFMBCNDEA/AFMBCNDExyzHCDFA'的平面角,可得3cos'3AGH.故二面角'ADFC的余弦值为33。（Ⅱ）由'CMAM，可得214FM。想法：解第一题几何法比向量法要简捷得多，关键是考生读图时需要将二面角CFDA/转换成CAFA/，这样就容易作图了．第二问的难点在于要求学生独立画出翻折后的立体图，这对学生的空间想象能力提出了较高要求．在解法上，综合法与向量法难度相当，向量法占不到便宜．这是一种很好的命题导向，既突出了几何思维的地位，也照顾到了向量思想的应用．它提醒教师应当重视立体几何本质的教学，向量只不过是一种“工具”，不能替代欧氏几何的学科思想和思维方式，以保证立体几何作为一门独立课程而存在的意义和价值．此题从设计背景到方法的选择及试题的设计方式很好地诠释了新课程所倡导的动手实践、自主探索、体验数学发现和创造的历程理念。同时，考查意图也是围绕课程标准要求的“在教学中，从不同角度解决立体几何问题”的教学要求。此外，折纸实验是学生所熟悉的一个数学实验背景，其基本原理是通过翻折与展平，寻找平面图形与空间图形之间的联系，进而抽象位置关系与数量关系，实现几何问题代数化。命题背景设计体现了公平性原则。同时翻折问题解决的过程中蕴含了解决立体几何问题的降维思想和数形结合思想，体现了从平面几何到立体几何的螺旋递进，经过两次翻折，使点'A与点C重合后计算MF的过程，不仅有进一步考查学生的空间想象能力的意图，也包含了对学生的代数运算能力的考查。两种能力的考查交替进行，寓空间想象于运算中。与此同时，由于翻折的前后两个部分图形不对称，给学生带来了视觉阻碍。根据'A，C重合得到'CMAM实属不易，这容易使学生在考试中产生焦虑情绪。因此，试题的“执果索因”的思维方式，即在方程思想的引领下寻找翻折问题中的不变性。沉着的心态，锐意进取的勇气，理性的剖析问题的本质，灵活熟练地运用知识与思想方法的数学素养等等，是突破难点的基本保障，也是本题在更高层面上的考察，它承载着选拔优秀人才的功能。2010年高考理科立体几何的命题方式彻底颠覆了传统的立体几何解答题的复习方式，突出了能力考查，彰显数学理性思维必将是立体几何试题今后的走向。我们知道综合法和向量法是解决立体几何问题的基本手段。2010年的试题给人以明显的感觉是对两种工具不再厚此薄彼，表现出综合法的推理与向量法的计算存在各自优势的特点。这种变化带给我们的启示是，立体几何的解答题的教学不能仅仅由向量法一法到底，而是要引导学生在对两种方法的对比中作出合理的选择，促使学生由线性思维向面状思维发展。变式一：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在线段AB，AD上，432FDAFEBAE．沿直线EF将AEF翻折成EFA/，使平面EFA/平面BEF．（Ⅰ）求二面角CFDA/的余弦值；（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与/A重合，求线段BN的长．变式二：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在线段AB，AD上，4AFEBAE．沿直线EF将AEF翻折成EFA/，使平面EFA/平面BEF．A/AFMBCNDEA/AFMBCNDEHGA/AFMBCNDE（Ⅰ）求二面角CFDA/的余弦值；（Ⅱ）在线段FD，BC上是否存在点M，N，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与/A重合，若存在请求出线段FM的长，若不存在请说明理由。三、立足双基，沉稳厚实2011年高考已经尘埃落定，立几题材料背景熟悉，是以学生熟悉的不规则锥体为载体，考查直线与直线垂直、平面与平面垂直、二面角等基本知识，同时考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。解题方法基本，和平时中学数学教学匹配度高，在考基础、考通性、考通法上体现得淋漓尽致。(2011理科)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。证明：（I）向量法：如图建立空间直角坐标系Oxyz，由)0,0,8(),4,3,0(BCAP可得0BCAP，即AP⊥BC。（1）综合法：由AD⊥BC,PO⊥BC且POAD=O得BC⊥平面PAD,故AP⊥BC（II）向量法：设,1,PAPM则)4,3,0(PM,),44,32,4(BM平面BMC的一个法向量为)4432,1,0(1n，平面APC的一个法向量为)3,4,5(2n,由21nn=0得52，故AM=3，所以存在点M符合题意，AM=3。向量法另解：设点M)40)(,543,0(aaa，则),,543,4(aaBM平面BMC的一个法向量为)4203,1,0(1aan平面APC的一个法向量为)3,4,5(2n,由21nn=0得512a，故AM=3，（II）综合法：在平面PAB内作BM⊥PA于M，连CM。由（Ⅰ）中AP⊥BC，得AP⊥平面BMC,又AP平面APC,所以平面BMC⊥平面BMC。在RTΔADB中，AB=41,在RTΔPOD中,,222ODPOPD在RTΔPDB中,,222BDPDPB所以，,252222BDODPOPB得PA=5。又,312cos222PBPAABPBPABPAPABCDOPABCDOMPABCDOxyz从而,2cosBPAPBPM所以AM=PA-PM=3。所以存在点M符合题意，AM=3。想法：第一问要求证明线线垂直，考查线面垂直判定定理及性质定理的掌握和应用；第二探索性的问题，但难度不大。无论是用传统方法的立体几何性质来解，还是用向量建立空间直角坐标系也好，入手都较容易，而且计算量也不大。尽管如此，许多学生的答题情况并不理想，出现了以下几种典型错误：1、线面垂直的判定定理不熟，条件不能够写完整，正所谓越简单越易丢分；2、建系问题，有些学生①建立的不是右手系，②乱建，随意取共点的三条边就说明是X轴，Y轴，Z轴，如，以O为原点，OB为X轴，OD为Y轴，OP为Z轴，③取不共点但会垂直的三条直线，如以BD为X轴，OD为Y轴，OP为Z轴；3、所用点、辅助线未在图上标出，或未说明其作法，或图象模糊不清等；4、不注意仔细审题，把所求二面角的棱看错；5、计算不过关,第二问不能准确设出点M的坐标,从而使后面的计算出现错误，或求错平面BMC的法向量1n,这就需要在平时注重独立解题训练。变式：如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂