温州大学数学分析考研真题2004--2007

温州大学2004年数学分析1、（12分）设0lim()xxfxA，0lim()xxgxB，并且AB.求证：存在0，使当00xx时成立()()fxgx.2、（16分）设数列{}na满足条件：对任何正整数n成立112nnnaa.（1）求证：当nm时12111222nmnnmaa；（2）应用柯西收敛准则证明{}na收敛.3、（16分）计算下列极限：（1）2220limln(1)xxxabx(0)ab，（2）112310lim10nnnnn.4、（12分）（1）求证：2200sincossincossincosxxdxdxxxxx；（2）求积分20sinsincosxdxxx的值.5、（15分）设空间闭区域V由曲面22zxy，222()zxy及圆柱面22(1)1xy所围成，试求V的体积.6、（10分）设()fx在闭区间[]ab，连续，01，求证：存在[]ab，，使得()()(1)()ffafb.7、（15分）设2()(1)nnxfxx（0x，2n），（1）求0max()nnxafx；（2）求极限lim(2)nnna.8、（16分）设0na，1nna收敛，nkknra，求证下列结论：（1）nr单调减少并趋于0；（2）12()nnnnarrr；（3）1nnnar收敛.9、（16分）设222222221()sin2,0(,)0,0xyxyxyxyfxyxy，（1）求(,)xfxy，(,)yfxy并讨论它们在点(0,0)处的连续性；（2）讨论(,)fxy在点(0,0)处的可微性.10、（12）设0，对[0,)x考察级数1nxnxe，（1）求这个级数的和函数()fx；（2）讨论这个级数在[0,)的一致收敛性.11、（10分）设()ftdt存在，证明：()()singxfttxdt在(,)一致连续.温州大学2005年数学分析1、（15分）（1）设ln(1),0()1,0xxxfxex，求证：(())ffxx.（2）除上述函数及yx，yxc以外，试再给出一个函数使满足x，(())ffxx.2、（15分）设()fa存在，()()gxfx，求证：（1）若()0fa，则()gx在点a可导.（2）若()0fa，则()gx在点a可导当且仅当()0fa.3、（10分）设()fx在区间开(,)ab连续，(,)kxab(1,2,,)kn，求证：存在(,)ab使122()[()2()()](1)nffxfxnfxnn.4、（15分）设()fx在(,)内连续，并且是单调增加的奇函数，又设0()(2)()xgxtxfxtdt.试判断()gx的单调性和奇偶性并证明之.5、（15分）讨论(,)2fxyxyxy在点(0,0)处的可微性.6、（15分）设()fu非零并且可微，22()yzfxy，求证：211zzzxxyyy.7、（20）（1）求222(,,)254fxyzxyzyz在单位球面S：2221xyz上的最小值和最大值；（2）求证：3(,,)xyz成立不等式2222222222546()xyzxyzyzxyz.8、（15分）证明函数项级数1sinnnxn在开区间(0,2)收敛但不一致收敛.9、（30分）计算下列积分：（1）设()fx在闭区间[0,1]连续，10()fxdxm，求110()()xdxfxfydy.（2）33222(2)()Lxxyydxxdyxy（L为圆周224xy逆时向）（3）222()()()Syzdydzzxdzdxxydxdy（其中S为锥面22zxy(0)zh，法线朝下）.温州大学2006年数学分析1、（15分）设Axfax)(lim，BxgAx)(lim而且在某)(0aU内Axf)(.（1）求证：Bxfgax))((lim；（2）举例说明去掉条件“在某)(0aU内Axf)(”结论（1）不成立.2、（20分）（1）求证：0x时xxxf1sin1)(是无界量但不是无穷大量.（2）设)(xf在],[ba上连续，*x是)(xf在],[ba上唯一的最大值点.如果],[}{baxn使得)()(lim*xfxfnn，求证：*limxxnn.3、（18分）设0,00,1sin)(xxxxxfm.试确定整数m的取值范围，使得（1）)(xf在0x处连续；（2）)(xf在0x处可导；（3）)(xf在0x处连续.4、（20分）（1）设)(xf在],[ba上连续，)(xf在),(ba中存在而且0)()(bfaf.求证：存在),(ba使得)()(ff.（2）试求方程xxsin2在闭区间]2,0[上的解.5、（12分）设)(xf在]1,0[上可微，0)0(f而且当)1,0(x时，1)(0xf.求证：103210)())((dxxfdxxf.6、（15分）（1）设0na)1(n.求证：nna1与nnnaa11具有相同的敛散性.（2）讨论级数3cos)1(21nnnnan（其中a为常数）的敛散性.7、（16分）（1）试构造一个二元函数，使它在原点处可微但偏导数不连续，并加以说明.（2）设由),(yxfz，)(xyyx所确定的隐函数)(xzz可微，试求dxdz.8、（10分）计算第二型曲面积分：SzyxdxdyzdzdxydydzxI222333)1()1()1(，其中S是球面2222Rzyx，0z的上侧.9、（12分）求函数项级数nnnx5sin41的收敛域、一致收敛域及和函数的连续域.10、（12分）（1）确定参变量的取值范围使得下述含参变量广义积分收敛：02)1ln()(dxxxI.（2）确定参量函数)(I的连续域.温州大学2007年数学分析１．(10分)证明：数列n{sin}不收敛.２．(10分)已知(0)0f，(0)f存在，求极限：()0limfxxx．３．(15分)计算积分01(1)nntndtt．４．(15分)已知()fx连续，(0)(1)0ff，()fxA，求证：2(),[0,1]Afxx．５．(10分)设()fx是以T为周期的连续周期函数，求证：（1）00()()()xTxxftdtftdtT也是以T为周期的周期函数；（2）0011lim()()xTxfxdxftdtxT．６．(15分)设()fx在0[)，连续，xfxAlim()0，求证：ofxxdx()sin发散．７．(15分)设1nna是收敛的正项级数，并且na单调下降收敛于零．证明：11()nnnnaa收敛，而且111()nnnnnnaaa．８．(１0分)判断正项级数111ln(1)nnn的敛散性．９．(１0分)求幂级数13(1)nnnnxn的收敛半径与收敛域．10．(15分)证明函数项级数113sin4nnnx在(0,)中不一致收敛，但其和函数在(0,)中连续．11．(10分)讨论函数2222221sin,0(,)0,0yxyxyfxyxy在(0,0)处的连续性、可导性与可微性．12．(15分)设()fx在[0,]a上连续，证明等式：200()2()()aaaxfxdxfxdxfydy．