板壳力学课程设计

板壳力学课程设计文克勒地基上的基础板班级：学号：姓名：日期：2016.06.25同组人员：1文克勒地基上的基础板受均布载荷问题简述四边简支的矩形薄板，长、宽分别为a、b,薄板厚度为δ，在板正上方受均布载荷q，薄板下面为文克勒地基，其机床系数为k，杨氏模量和泊松比为E、μ。运用以下三种方法计算节点的挠度w,并对比计算结果。1、理论解2、差分解3、有限元解模型参数E=205GPa，μ=0.3，a=1.6m，b=2.4m，k=42000kN/m3最后要对厚度与载荷进行讨论，在这里先以δ=0.06m，q=2.5×104m。边界条件四边简支，即2200222200220,00,00,00,0xxxaxayyybybwwxwwxwwxwwxxy𝑎𝑏O图1薄板模型21.理论解放置在弹性地基上的薄板，在工程上是常常遇到的。当薄板承受横向载荷而发生挠度时，弹性地基对薄板作用一定的分布反力，即所谓的弹性抗力。弹性地基的最简单的计算模型是所谓文克勒地基。这种地基对薄板所施加反力的集度是p,是和薄板的挠度w成正比而方向相反，即pkw（1.1）这样，薄板所受横向分布力的总集度将为p+q，因而薄板弹性曲面的微分方程须改变成为4Dwqpqkw或4kqwwDD（1.2）其中32121ED（1.3）计算是需用的其他表达式和方程，则无需加以改变。对于四边简支的矩形薄板，仍然可以应用纳维解法，将挠度的表达式取为11sinsinmnmnmxnywAab（1.4）并将载荷q也展为同一形式的级数，即00114sinsinddsinsinabmnmxnymxnyqqxyababab（1.5）将式（1.4）及式（1.5）代入微分方程（1.2）中，即得002224224sinsinddabmnmxnyqxyababAmnDkaa（1.6）当薄板受均布载荷是，q成为q0由式（1.6）求出系数Amn,然后代入式（1.4），即3022221,3,5,1,3,5,422sinsin16mnmxnyqabwmnmnDkab（1.7）中心点挠度最大，代入已知数据，求薄板中心（0.8,1.2）挠度，由MATLAB计算如下：表1理论解的收敛情况m，n取值所得w(m)12.4160×10-432.3083×10-452.3180×10-472.3161×10-492.3167×10-4112.3165×10-4132.3165×10-4152.3165×10-4由上表可知当m=11，n=11时，理论解收敛，即此时有4max2.316510mw42．差分解如图，采用4×6的网格进行计算636525414525636由边界条件可得4566,,,,abcb同理，为内结点2、3、4、5、6建立差分方程如下：4401245344021354624403265314404152645246135208222422082222,208222,2082222,2082qhkh，40440635246,2082,qhDqhkh简化后通过MATLAB计算，可得4max12.275710mwwabcd图24×6网格yxO53．有限元解对文克勒地基板单元，其刚度矩阵假定为：在单元每一节点处，各设置一弹性附加杆件．其刚度为Kkab式中，k为基床系数，a、b分别为板单元长度、宽度，考虑刚度对面积的分布系数，对于角节点β=14，边节点β=12，内节点β=1。在此选用ABAQUS工程软件进行计算，建立1.6m×2.4m的正方形薄板，其厚度为0.06m，在interaction模块中输入弹簧的刚度系数由以上假定确定。划分8×12网格进行计算时，4max3.053610mw。划分12×16网格进行计算时，4max2.457110mw。图38×12网格结果示意图图412×16网格结果示意图6划分16×24网格进行计算时，4max2.350810mw。划分32×48网格进行计算时，4max2.359310mw。表2不同的网格对计算结果的影响网格种类wmax(104m)与理论解相差(％)8×123.053636.1412×162.45716.0716×242.35081.4832×482.35931.85注：载荷为2.5×104m，理论解为2.3165×104m由上表可知，进行计算时，应该对网格进行合适地划分，不能太稀疏，否则会引起较大误差。图516×24网格结果示意图图632×24网格结果示意图74.不同情况下的误差比对⑴通过以上三种算法计算不同厚度的薄板在均布载荷下的最大挠度，并与理论解进行误差比对。(载荷都为2.5×104N/m2)表3三种算法对不同厚度薄板计算结果比对厚度(m)理论解(10-4m)差分解(10-4m)有限元解(10-4m)差分解与理论解相差(％)有限元解理论解相差(％)0.0256.88876.42526.88906.720.0040.0306.34415.95726.35226.100.130.0355.59735.30475.61535.230.320.0404.79654.58824.82384.340.570.0454.03593.89334.07053.530.860.0503.36243.26723.40182.831.170.0552.79052.72782.83252.251.510.0602.31652.27572.35931.761.850.0651.92891.90251.97121.362.190.0701.61371.59671.65471.052.540.0751.35761.34691.39690.792.890.0801.14921.14251.18640.583.240.0850.97880.97481.01410.413.610.0900.83890.83670.87210.263.960.0950.72340.72230.75460.154.320.1000.62740.62710.65670.054.67从以上表格可知：①薄板厚度在0.02m～0.10m内，差分解与理论解误差随着薄板厚度的增加越来越小；②薄板厚度在0.02m～0.10m内，有限元解与理论解误差随着薄板厚度的增加越来越大；8③当薄板厚度为0.06m时，此时得出的差分解与有限元解误差都在2%以内，此时可以确定出差分解与有限元解误差都在2%内的薄板厚度范围，如下表格：表4确定差分解与有限元解误差都小于2％的范围厚度(m)理论解(10-4m)差分解(10-4m)有限元解(10-4m)差分解与理论解相差(％)有限元解理论解相差(％)0.0552.79052.72782.83252.251.510.0562.68812.63062.73042.141.570.0572.58972.53682.63222.041.640.0582.49052.44652.53761.771.890.0592.40402.35952.44671.851.780.062.31652.27572.35931.761.850.0612.23252.19512.27531.681.920.0622.15192.11762.19461.591.980.0632.07452.04302.11701.522.050.0642.00021.97132.04261.442.120.0651.92891.90251.97121.372.19由以上表格可知，当薄板厚度在0.058m～0.062m范围内，差分解和有限元解与理论解误差都小于2%。⑵在表3中已经知道载荷为2.5×10-4N/m2，薄板厚度为0.025m时，有限元解的误差为0.004％，以此来讨论在何种厚度下用有限元法计算出的结果误差最小,所得结果如下：表5有限元解误差讨论厚度(m)理论解(𝟏𝟎−𝟒m)有限元解(𝟏𝟎−𝟒m)误差(％)0.0166.81616.93871.7990.0176.90446.97250.9860.0186.97357.00160.4030.0197.02217.02570.05190.0207.04977.04710.0370.0217.05627.05370.0350.0227.04237.04020.0300.0237.00907.00070.1180.0246.95736.95650.0110.0256.88876.88900.0040.0266.80466.80610.0220.0276.70666.70950.0430.0286.59616.60070.0700.0296.47486.48110.0970.0306.34416.35220.13由上表可以得出，薄板厚度为0.025m时，有限元解的误差最小。⑶比较在不同载荷下，差分解和有限元解与理论解的百分差表6不同载荷下差分解和有限元解的误差载荷(104N/m2)理论解(10-4m)差分解(10-4m)有限元解(10-4m)差分解与理论解相差(％)有限元解理论解相差(％)1.11.29721.27441.32121.761.851.21.38991.36541.41561.761.851.31.48261.45641.50991.771.841.41.57521.54751.60431.761.851.51.66791.63851.69871.761.851.61.76051.72951.7931.761.851.71.85321.82061.88741.761.851.81.29721.27441.32121.761.851.91.38991.36541.41561.761.85由以上表格可知，载荷对于差分解和有限元解与理论解的误差几乎没有影响。