六年级奥数蝴蝶模型

蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形4321SSSS在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。推导：由等积变形模型可知：OCAOSSBOCAOBOCAOSSCODAODCODAODBOCAOBSSSS2431SSSS即4321SSSS二、蝴蝶模型与梯形①4321SSSS②21SS推导：①同上②过点A作三角形ABC的高1h，过点D作△BCD的高2hBCAD//21hh（两平行线之间高相等）121hBCSABC221hBCSBDCBDCABCSS3231SSSS21SS三、蝴蝶模型与平行四边形（一）①4321SSSS②4321SSSS推导：①同上②BCDABCSSACDBCDSS（同底等高）4241SSSS2324SSSS21SS43SSODOBOCOA31SS42SS（二）4321SSSS即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD内作两条分别平行于两组相对边的线段GH、EF）推导：连接GE、EH、HF、FG，过点E作EM垂直于GH于点MEMOGSOGE21EMOGSS1平行四边形121SSOGE同理可得：321SSOGF221SSOFH421SSEOH由蝴蝶定理可知：EOHOGFOFHOGESSSS432121212121SSSS4321SSSS四、蝴蝶模型与长方形（一）①4321SSSS②4321SSSS（二）4321SSSS即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。例1：如下图所示，在梯形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD的面积。解：由蝴蝶定理可知：S∆BOC=S∆AOD=6∴S∆DOC=6×6÷4=9∴梯形ABCD的面积是9+6+4+6=25答：梯形ABCD的面积是25。例2：如图，求阴影部分的面积。（单位cm2）分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。解：S阴影=28×6÷12=14（cm2）答：阴影部分的面积为14平方厘米。例3：下图是两个正方形，大正方形边长是8，小正方形边长是6，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接AC，所以AC平行于GE，由梯形的蝴蝶定理可知，三角形AOG和三角形COE面积相等，因此，阴影部分的面积就等于三角形GCE的面积，即小正方形面积的一半。解：连接AC∵AC∥GE∴由梯形的蝴蝶定理可知：S∆AOG=S∆COE∴S阴=S∆COE+S∆GOE=S∆GCE=12×6×6=18（cm2）答：阴影部分的面积为18平方厘米。28126ABDC46OABCDEFGO练习题1.如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC，BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米。公园由6.92平方千米的陆地和人工湖组成，则人工湖的面积是多少平方千米？2.如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。3.如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为30cm2，△CDQ的面积为80cm2，求阴影部分的面积。4.如图，四边形ABCG和CDEF都是正方形，DC等于12厘米，CB等于10厘米，求阴影部分的面积。