随机子空间模态参数识别

随机子空间模态参数识别桥梁结构运营模态分析结构振动的状态空间随机子空间系统识别系统定阶试验验证内容状态空间模型状态方程输出方程状态方程由n维系统的n个状态变量x1，x2，∙∙∙，xn所构成一阶微分方程组输出方程在指定系统输出和给定系统输入的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系状态空间状态方程-连续)()()()()(2tuBtFtKqtqCtqM)()()(tqtqtx引入状态向量)()()(tuBtxAtxcc)()()()(1tqCtqCMtqCtydva状态方程输出方程引入状态向量)()()(tuDtxCtycc)()()(tqtqtx实际采样是离散的，连续状态空间模型不符合实际情况应将连续状态空间模型转换成离散状态空间模型。假设连续状态空间模型存在初始条件：当时t=t0，x(t)=x(t0)。那么状态变量的通解可以求得：状态方程-离散tctAttAduBetxetxcc0)(0)()()()(00tt设时间间隔为Δt，离散的时间序列为0、Δt、2Δt，∙∙∙，(k+1)Δt，∙∙∙，把t=(k+1)Δt，t0=kΔt代入上式可得：同理，输出方程即也可以写成离散的空间状态模型状态方程-离散tkctkAtAduBetkxetkxcc)1(0))1(()()())1((kkkBuAxx1kkkDuCxykkkkkkDuCxyBuAxx1测试必然存在噪声干扰过程噪声wk测量噪声vk离散的空间状态模型可以写成随机状态空间模型kkkkkkkkvDuCxywBuAxx1随机状态空间模型BDCA△uk++wkxk+1xkykwk+A△wkxkvkykxk+1C+滞后kkkkkkvCxywAxx1结构振动的状态空间模型)()()()()(2tuBtFtKqtqCtqM随机状态空间模型：A：状态矩阵，表示系统内部状态的联系C：输出矩阵，表示输出与系统内部状态的关系Wk：环境干扰和建模的不精确而引起的过程噪声Vk：传感器的不精确或环境对传感器的影响引起的测量噪声正交投影子空间基本原理B)(BBABAΠA/BB)(BBBΠTTBTTB基于协方差的SSI方法基于数据驱动的SSI方法随机子空间方法算法Hankel矩阵jilRH2222212121542321121012,011jiiiijjjiyyyyyyyyyyyyyyyyjYjHHankel矩阵投影分法fp11,2iii0,2j2i2i12iji2i1i1ji1ii2jii1ij211j1010,2ifp1i,2i1i0,2j2i2i12iji2i1i1ji1ii2jii1ij211j1010,2iYYj1YYj1yyyyyyyyyyyyyyyyyyj1Yj1HYYj1YYj1yyyyyyyyyyyyyyyyyyj1Yj1H同一矩阵的投影T2T1222111T121T1111111TT1121T1111T11T1121T2T1111T1111T112221T2T1111T11TT2T1T2T111T11TT2T1T2T12221TTT2T111T2T12221TTT2T1222111QQRR0RABCQRQR)(R)(RRRQR)R(RRRQQ0R0RI0R0RIRRQQ0R0RQQQQ0R0RQQQQRRB)(BBABA/BQQ0RBQQRRAI,QQQQ,QQRR0RABC1111投影矩阵T:]1),l(i:[11)]l(i:2li,1:11)[l(iT3T2T14342411iT:]1),l(i:[1li]:2li,1:1[liT2T142413231pfiT4T3T2T14443334241323122211110,2iQRQQQRRRYYOQRQQRRRRYYOQQQQRR0RRRRR0000RR0R1)l(ill1)l(iQRHpf分解卡尔曼滤波SSI方法是通过卡尔曼滤波估计，由输出矩阵得到系统状态的。将状态向量𝑥𝑘的卡尔曼滤波估计写成𝑥𝑘假定初始状态估计𝑥0=0初始状态的协方差𝑃0=𝑥𝑘𝑥0𝑇=0输出为𝑦0，…，𝑦𝑘−1那么卡尔曼滤波估计为：𝑥𝑘=𝐴𝑥𝑘−1+𝐾𝑘−1𝑦𝑘−1−𝐶𝑥𝑘−1，𝐾𝑘−1=𝐺−𝐴𝑃𝑘−1𝐶𝑇Λ0−𝐶𝑃𝑘−1𝐶𝑇−1，𝑃𝑘=𝐴𝑃𝑘−1𝐴𝑇+𝐺−𝐴𝑃𝑘−1𝐶𝑇Λ0−𝐶𝑃𝑘−1𝐶𝑇𝐺−𝐴𝑃𝑘−1𝐶𝑇𝑇以上几式写成如下形式，即可得到输出数据与状态向量之间的关系𝑥𝑘=Δ𝑘𝑐L𝑘−1𝑦0𝑦1…𝑦𝑘−1𝑋𝑖=𝑥𝑖𝑥𝑖+1⋯𝑥𝑖+𝑗−1=Δ𝑖𝑐L𝑖−1𝑦0𝑦1…𝑦𝑘−1𝑦1𝑦2…𝑦𝑘…………𝑦𝑗−1𝑦𝑗…𝑦𝑖+𝑗−2卡尔曼滤波卡尔曼滤波1i1i1iT11/21i1/211iT111T2T1121Tiiip1ciip1iip1iip]Y[Y]Y[YpfiXΓYYOVSXSUΓVSUVV000SUUUSVOXΓYLΔΓYLCOYLCYΦΦYYOpfiipp,pf,ˆ同理可得ˆˆ卡尔曼滤波估计的状态方程iXYXCAvwXCAYXi/i1iiiii/i1iˆˆˆˆ特征值分解,2,1),(,1idiagAitAceA连续与离散的关系ticilnjbaiicici,jiiiicici21,)/(22sradbaiii)(2/22HZbafiii22iiiibaaC振型：随机子空间方法模态参数识别过程中，唯一需要确定的参数为系统阶次。准确的系统阶次往往是未知的，在识别系统的过程中估计系统阶次是关键的一环。系统阶次的估计主要有两种方法：奇异值的跳跃性稳定图稳定图定阶根据子空间的原理，矩阵奇异值分解以后所得的奇异值可认为是将来输出行空间对过去输出行空间投影过程中的主对角余弦值不同的系统阶次对应一个余弦值在系统阶次顺序增长的过程中，该余弦值会有一个大的跳跃该处跳跃所对应的系统阶次认为是真正系统阶次由于存在噪声的影响，高于真正系统阶次的余弦值并不为零，而是跟零比较接近的一个值研究表明该方法对低阶系统有较好的判断，对高阶系统效果不佳，奇异值与阶次关系曲线比较平滑，没有明显的跳跃，难以判定系统阶次奇异值跳跃稳定图确定系统阶次的方法假定模型有不同的阶次，得到多个不同阶次的状态空间模型，对每个模型进行模态参数识别，将得到的所有模态参数绘制在稳定图上，以确定模态阶次和模态参数稳定图包含统计思想，在未知准确系统阶次前提下，选择一定范围进行多次重复计算，以计算结果稳定性选取所得模态参数从统计概念而言，即选取了出现频率较高的数值，出现频率较高的数值其可信度较大，稳定性较好。稳定图稳定图系统阶次n+1系统阶次nfn+1,ξn+1,Φn+1fn,ξn,Φn|fn+1-fn|f的评判标准是否不稳定是否不稳定|Φn+1-Φn|Φ的评判标准是否不稳定|ξn+1-ξn|ξ的评判标准完全稳定试验模型全长26.625m跨径组成5.1875+16.25+5.1875m主塔高5.1816m，边墩高1.7755m，桥面宽2.9375m模型除承台采用现浇混凝土，塔柱和箱梁均采用钢材。试验验证试验验证试验环境采集方法试验目的一次性采集•足够的传感器•7个采集点(CaseI)多次采集•以某些点为参考点•移动其余传感器至不同位置•多次测量到所有测点数据•四次采集(CaseII)•五次采集(CaseIII)环境激励、完好状态验证SSI方法在模型试验上的可行性试验验证测点编号传感器位置CaseICaseII&III1左边跨跨中√√2左主塔-√3中跨1/6截面√√4中跨1/4截面√√5中跨1/3截面-√6中跨跨中√√7中跨3/4截面√√8中跨5/6截面√√9右主塔-√10右边跨跨中√√试验验证采集方案传感器位置(测点号)II54395428541754610III543854275416546105439试验验证试验验证阶次123456频率2.0392.4564.8186.5217.3579.165试验验证-DASYLab阶数123456频率(Hz)未能识别2.81255.3516未能识别未能识别未能识别MAC—0.68590.7879———DMAC—0.31410.2103———一次性采集多次采集阶次2频率（Hz）第一分步2.8223第二分步2.7930第三分步2.8320第四分步2.8125MAC0.8451DMAC0.1549阶次2频率（Hz）第一分步2.8125第二分步2.7930第三分步2.8320第四分步2.8320第五分步2.8027MAC0.6692DMAC0.3308试验验证-SSI(CaseI)阶次123456有限元频率（Hz)2.03902.45604.81806.52107.35709.1650DSYLab频率（Hz)未识别—2.81255.3516—未识别未识别未识别SSI法频率（Hz)未识别2.79842.80115.34885.73096.79498.0331未识别阻尼比未识别0.00360.00430.00140.00040.00390.0018未识别MAC—0.68850.68850.89500.85060.84390.8864—DMAC—0.31150.31150.10500.14940.15610.1136—与有限元误差(%)—13.940014.050011.020018.95004.20009.1900—与DASYLab误差(%)——0.41000.0500————试验验证-SSI(CaseII)阶次123456有限元频率（Hz)2.03902.45604.81806.52107.35709.1650DASYLab频率（Hz)未识别2.8150(均值）未识别未识别未识别未识别SSI法第一分步频率（Hz)未识别2.66315.33696.80628.1572未识别阻尼比0.00180.00250.0050.0007第二分步频率（Hz)2.67585.33696.84468.1625阻尼比0.00230.00310.00480.0005第三分步频率（Hz)2.66335.34346.84848.1554阻尼