极限的概念说课稿

《极限的概念》许聪聪《高等数学》之授课部分2流程说课部分1教学内容教学目标重点难点地位作用学生情况教学方法设计思路引入极限思想数列的极限函数的极限极限的应用（一）教学内容第二节极限的概念一、数列的极限二、函数的极限一、说课第一章函数与极限知识目标理解数列极限及函数极限的概念及思想，并判断简单函数的极限素质目标高度概括能力抽象思维能力能力目标用极限及辩证的思维模式去思考问题、分析问题、解决问题一、说课（二）教学目标（三）重点、难点数列极限的概念及求法函数极限的概念及判断数列极限概念的理解函数极限概念的理解与判断教学难点教学重点一、说课定积分极限连续导数无穷级数不定积分微分方程一元函数多元函数（四）本节在本门课中的地位与作用灵魂一、说课一、说课学生情况高中阶段接触过极限的概念只能对最简单的数列进行判断（五）学生情况只能对最简单的函数进行计算对极限思想的理解不够教学内容教法问题驱动法对比讲授讨论启发一、说课（六）教学方法数学史融入数学教学1信息化方式引入数学教学3.4数学建模思想渗入数学教学了解数学发现数学美爱上数学享用数学一、说课（七）设计思路数学文化融入数学教学2内容梳理一、说课数学理论篇数学应用篇极限思想数列的极限函数的极限极限的应用（5分钟）（10分钟）（15分钟）（10分钟）数学文化篇文化价值科学价值应用价值艺术价值数学的素质教育导入新课1数学文化篇2数学理论篇3数学应用篇4一、说课二、授课请思考这两句诗的意境！导入新课1刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家。他撰写《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注，指出并纠正了其中的错误，在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献。他的“割圆术”求圆周率的方法：它包含了数学文化篇2二、授课“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割，则与圆周合体而无所失矣”“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽数学文化篇2二、授课R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正边形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS数学文化篇2二、授课2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”11;2X221;2X1;2nnX12nnX0数学文化篇2二、授课——《庄子.天下篇》第一天截完后所剩杖的长度为第二天截完后所剩杖的长度为第n天截完后所剩杖的长度为按一定次序排列的一列数,,,,21nxxx这一列有序的数就叫数列.记为.nx其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数学理论篇3（一）数列的极限二、授课定义1简洁美对于数列，否则称该数列发散．nu{}nu{}nulim{}nnuA()nuAn定义2如果当n无限增大时，无限接近于某个确定的常数A，则称A为数列或称数列收敛于A,记为或的极限，数学理论篇3二、授课1.数列是整标函数).(nfxn例1观察下列数列的极限：注：2.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴.,,,,21nxxx;1nn（1）123,,,,,2341nn；4x3x1x01nx2x45233412lim11nnn所以收敛于1上依次取数学理论篇3二、授课2,4,8,,2,;n（4）lim2=nn所以1)1(nnx所以发散（2）01x22x43x84x16011趋势不定，发散2;n1(1)n；（3）;1n;,1,,31,21,1n1x01nx122x133x1lim=0nn所以收敛于1播放数学理论篇3二、授课1(1)lim1nnnn收敛于1。1(1);nnn（5）趋势不直观，观察下面动画数学理论篇3二、授课;1nn（1）（2）2;n（4）1(1)n；1(1);nnn（5）单调增加趋近于1单调增加但无极限摆动无极限左右摆动趋近于1收敛单调增加收敛单调减少收敛左右摆动收敛发散无穷发散摆动发散单调数列不一定有极限摆动不一定发散（1）（5）（3）（4）（2）（3）;1n单调增加趋近于0引例考察函数当无限增大时的变化趋势。1yx数学理论篇3二、授课（二）函数的极限把数列推广到一般函数1.自变量趋向无穷时函数的极限xxOy由高中知识可知，01limxx注意到01limxx，此时，1lim0xxnn1lim。定义可看作的推广。与数列极限定义对比可得y=A为函数f(x)的水平渐近线。定义3:如果当x的绝对值无限增大时,)(xf函数无限接近于常数,A则称常数A为函数)(xf当x时的极限,记作Axfx)(limAxfx)(lim或).()(xAxf如果在上述定义中,限制x只取正值或者只取负值,即有或,)(limAxfx则称常数A为函数)(xf当x或时的极限.数学理论篇3二、授课x注意到x意味着同时考虑x与,x可以得到下面的定理:所以极限二、授课数学理论篇3.arctanlim,arctanlim,arctanlimxxxnnn及limarctan2xx,arctanlimarctanlimxxnnxxarctanlim例2讨论极限解由于不存在.Oxy22limarctan2xx定理1极限Axfx)(lim的充分必要条件是lim()lim().xxfxfxA对称美极限与有无定义无关图１O1-1(1,2)xyf(x)=x+1图2O1-1(1,2)xyf(x)=x+12.自变量趋向有限值时函数的极限二、授课数学理论篇311lim()lim(1)xxfxx22111lim()lim1xxxgxx以及函数的变化趋势？21()1xgxx1lim(1)2xx引例讨论当1x()1fxx时，的变化趋势，函数二、授课数学理论篇3定义4设函数)(xf在点0x的某一去心领域内有定义.如果当)(00xxxx时,函数)(xf无限接近于常数,A则称常数A为函数)(xf当0xx时的极限.记作Axfxx)(lim0或).)()(0xxAxf函数)(xf从左侧(或右侧)趋于当自变量x0x时,趋于常数A,则称A为)(xf在点0x处的左极限(或右极限),记为Axfxx)(lim0或Axfxx)(lim0二、授课数学理论篇3OyxA)(xfOyxA)(xf注意到0xx意味着同时考虑0xx与,0xx可以得到下面的定理:定理2极限Axfxx)(lim0的充分必要条件为00lim()lim().xxxxfxfxA0xx0xx例3.解从右图易见，1。e2•显然e2,从而故函数f(x)当x1时极限不存在。1x讨论函数当时，极限是否存在？数学理论篇3二、授课。yO强调：可以借助图像去观察，但不要过分依赖图像极限无限接近无限接近数列函数n0xx0xxAunx0xxxxAxf)(Axf)(Axf)(Axf)(Axf)(Axf)(数学理论篇3二、授课无穷点量变到质变统一美数学应用篇4有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔。而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，试问一年后共有小兔几对？以后每月的增长速度怎么样？二、授课1提出问题问题假设1假定每产一对小兔必一雌一雄；2均无死亡。1.问题假设是建立模型的关键；2.注意假设的合理性。1月12月23月34月55月86月13成兔仔兔数学应用篇4二、授课观察一下数列之间有什么样的关系？目前12分析问题Fibonacci数列1，1，2，3，5，8，13，写出数列数学应用篇4二、授课).,2,1,0(12nFFFnnn递推关系：3解决问题89，通项：1125125151nnnF一年后兔子共有兔子233对21，34，55，233144，数学应用篇4二、授课1limnnnFF多年后成年兔子与仔兔数量均以每月61.8%速度增长与Fibonacci数列紧密相关的一个重要极限黄金分割4问题升华（2）证券投资的艾略特“波浪理论”（1）树的分枝510.6182内容小结1.数列极限的概念及简单计算2.函数极限，左、右极限概念及判定思考与练习1.若极限)(lim0xfxx存在,)()(lim00xfxfxx课后作业是否一定有二、授课P4710;112.设函数)(xf且)(lim1xfx存在,则.a1,121,2xxxxa3