湖北八校联考年高三数学理试题

武汉市2007届高中毕业生四月调研测试题数学试卷2007-4-16一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.复数z=(1－i)2i等于()郝进制作A.－2B.2C.2iD.－2i2.在等差数列{an}中,a1·a3=8,a2=3,则公差d=()A.1B.－1C.±1D.±23.在△ABC中,∠C-=90°,若AC=3,BC=4,则cos(A－B)的值为()A.35B.45C.2425D.7254.一条直线与平面所成的角为θ(0θπ2),则此直线与这个平面内任意一条直线所成角中最大角是()郝进制作A.π2B.πC.π－θD.θ5.在平面直角坐标系中,不等式组x＋y≥0x－y＋4≥0x≤a(a为常数)表示的平面区域面积是9,那么实数a的值为()A.32＋2B.－32＋2C.－5D.16.如果f'(x)是二次函数,且f'(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,－3),那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()A.(0,2π3]B.[0,π2)∪[2π3,π)C.[0,π2]∪[2π3,π)D.[π2,2π3]7.如图,直线MN与双曲线C:x2a2－y2b2=1的左右两支分别交于M、N两点,与双曲线C的右准线相交于P点,F为右焦点,若|FM|=2|FN|,又NP→=λPM→(λ∈R),则实数λ的取值为()A.12B.1C.2D.138.平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式:PA→＋PB→＋PC→=AB→,则下列结论正确的是()A.P在CA上,且CP→=2PA→B.P在AB上,且AP→=2PB→C.P在BC上,且BP→=2PC→D.P点为△ABC的重心9.已知函数f(x)=2x＋4－x,则函数f(x)的值域为()A.[2,4]B.[0,25]C.[4,25]D.[2,25]10.△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为()A.1B.13C.223D.1或13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11.二项式(x2－2x)9展开式中1x的系数为________12.数列{xn}的通项xn=(－1)n＋1,前n项和为Sn,则n→∞limS1＋S2＋…＋Snn=______13.不等式x＋12x＋1－|x|≥1的解集为_________14.一个五位数由数字0,1,1,2,3构成,这样的五位数的个数为_________15.过定点P(1,4)作直线交抛物线C:y=2x2于A、B两点,过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin4xcos2x＋asin2x在x=π6时取到最大值.(1)求函数f(x)的定义域;(2)求实数a的值.17.(本小题满分12分)如图,在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为AD中点,(1)求二面角E－A1C1－D1的平面角的余弦值;(2)求四面体B－A1C1E的体积.18.(本小题满分12分)一袋中装有分别标记着1、2、3、4数字的4个球,从这只袋中每次取出1个球,取出后放回,连续取三次,设三次取出的球中数字最大的数为ξ.(1)求ξ=3时的概率;(2)求ξ的概率分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)已知直线l:y=2x－3与椭圆C:x2a2＋y2=1(a1)交于P、Q两点,以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A.(1)设PQ中点M(x0,y0),求证:x032(2)求椭圆C的方程.20.(本小题满分13分)(1)已知函数m(x)=ax2e－x(a0),求证:函数y=m(x)在区间[2,＋∞)上为减函数.(2)已知函数f(x)=ax2＋2ax,g(x)=ex,若在(0,＋∞)上至少存在一点x0,使得f(x0)g(x0)成立,求实数a的取值范围.21.(本小题满分14分)已知点(an,an－1)在曲线f(x)=x2＋1x上,且a1=1.(1)求f(x)的定义域;(2)求证:2233121111(1)14(1)14nnnaaa(n∈N*)(3)求证:数列{an}前n项和3(32)322nnnS(n≥1,n∈N*)武汉市2007届高中毕业生四月调研测试题数学参考答案(括号中的文科)1.B2.C3.C、4.A、5.D、6.B、7.A、8.A9.D、10.D11.－25212.12、13.(－13,＋∞){x|x≥－12且x≠0}14.4815.y=4x－4、16.(1)x要满足cos2x≠0,从而2x≠kπ＋π2(k∈Z)因此f(x)的定义域为{x|x≠12kπ＋π4,(k∈Z)}(4分)(2)由f(x)=f(x)=3sin4xcos2x＋asin2x=23sin2x＋a2(1－cos2x)∴f(x)=23sin2x－a2cos2x＋a2≤(23)2＋(a2)2＋a2(8分)∵x=π6时,f(x)取到最大值,则23sinπ3－a2cosπ3=12＋(a22)∴3－a4=12＋(a22),求得a=－4(12分)因此所求实数a的值为－417.(1)在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1,E为AD中点,在A1D1上取中点F.连接EF过F作FM⊥A1C1于A1C1上一点M,连接EM,则∠EMF为二面角E－A1C1－D1的平面角.在△A1C1D1中,FM=14B1D1=24,又EF⊥FM,EF=1∴tan∠EMF=124=22,从而cos∠EMF=13.∴二面角E－A1C1－D1的余弦值为13郝进制作(2)在平面ABCD内,郝进制作延长BA到N点,使AN=12,故NE∥A1C1,∴NE∥面BA1C1∴VB－A1C1E=VE－A1BC1=VN－A1C1E=VC1－A1BN=13·(12·32·1)·1=1418.(1)ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3①三次取球均出现最大数字为3的概率P1=(14)3②三取取球中有2次出现最大数字3的概率P2=C32(14)2(24)=664③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率P3=C33·14·(24)2=1264P(ξ=3)=P1＋P2＋P3=1964(2)在ξ=k时,利用(1)的原理可知:郝进制作P(ξ=k)=(14)3＋C32(14)2(k－14)1＋C33·14·(k－14)2=3k2－3k＋164,(k=1,2,3,4)ξ的概率分布为:ξ1234P16476419643764Eξ=1×164＋2×764＋3×1964＋4×3764=551619.解:(1)设直线l:y=2x－3与椭圆C:x2a2＋y2=1(a1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2),右顶点A(a,0),将y=2x－3代入x2＋a2y2－a2=0中整理得(4a2＋1)x2－43a2x＋2a2=0x1＋x2=43a24a2＋1①x1x2=2a24a2＋1②∵M(x0,y0)为PQ中点∴x0=x1＋x22=23a24a2＋1=32－32(4a2＋1)故x032(2)依题意:PA→·QA→=0,则(x1－a)(x2－a)＋y1y2=0又y1=2x1－3,y2=2x2－3故(x1－a)(x2－a)＋(2x1－3)(2x2－3)=0由①②代入③得:4a4－43a3－a2＋3=0∴(a－3)(4a2－a－3)=0∵a1,则4a2－a－30故a=3故所椭圆方程为x23＋y2=120.(1)m'(x)=axe－x(2－x),而ax0,∴当x2时,m'(x)0,因此m(x)在[2,＋∞)上为减函数.郝进制作(2)记m(x)=ax2＋2axex,则m'(x)=(－ax2＋2a)e－x,当x2时,m'(x)0当0x2时,m'(x)0故m(x)在x=2时取最大值,同时也为最大值.m(x)max=m(2)=2222aae依题意,要在(0,＋∞)上存在一点x0,使f(x0)g(x0)成立.即使m(x0)1只需m(2)1即2222aae1∴2212ae,因此,所求实数a的取值范围为(2212e,＋∞)21.解:(1)由f(x)=x2＋1x知x满足:x2＋1x≥0,∴x3＋1x≥0,∴(x＋1)(x2－x＋1)x≥0∴x＋1x≥0,故x0,或x≤－1.f(x)定义域为:(－∞,－1]∪(0,＋∞)(2)∵an＋12=an2＋1an,则an＋12－an2=1an于是有:12111naaa=an＋12－a12=an＋12－1要证明:2233121111(1)14(1)14nnnaaa只需证明:1133122nnan(*)下面使用数学归纳法证明:1133122nnan(n≥1,n∈N*)①在n=1时,a1=1,12a12,则n=1时(*)式成立.②假设n=k时,1133122kkak成立,由122233111331124412kkkaakkakk要证明:123313144(1)12kkk只需2k＋1≤12331(1)2kk只需(2k＋1)3≤8k(k＋1)2只需证:12332(1)kkk,只需证:4k2＋11k＋80,而4k2＋11k＋80在k≥1时恒成立.于是:22311(1)4kak.因此1123311(1)2(1)2kkak得证.综合①②可知(*)式得证,从而原不等式成立.(3)要证明:3(32)322nnnS,郝制作由(2)可知只需证:333(32)[3(1)2]144nnnnn(n≥2)(**)下面用分析法证明:(**)式成立.要使(**)成立,郝进制作只需证:(3n－2)3n(3n－1)3n－1即只需证:(3n－2)3n(3n－1)3(n－1),只需证:2n1.而2n1在n≥1时显然成立,故(**)式得证.于是由(**)式可知有:32＋33＋…＋3n≤3(32)544nn因此有:Sn=a1＋a2＋…＋an≤1＋2(32＋33＋…＋3n)=3(32)322nn。