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湖北省新洲一中、红安一中、麻城一中2013届高三（上）期末联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合，，则A∩B等于（）A．[2，4]B．[0，2]C．[2，4）D．[0，8]考点：其他不等式的解法；交集及其运算．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出集合A，函数的定义域求出集合B，解答：解：因为A={}={x|0≤x＜4}，={x|﹣x2+10x﹣16≥0}={x|2≤x≤8}．A∩B={x|2≤x＜4}．故选C．点评：本题考查分式不等式的解法，好的定义域的求法，集合的交集的运算，考查计算能力．2．（5分）已知数列{an}为等比数列，且a4•a6=2a5，设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b5=2a5，则S9=（）A．36B．32C．24D．22考点：等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可知，，结合已知可求a5，进而可求b5，代入等差数列的求和公式S9==9b5可求解答：解：由等比数列的性质可知，∴∴a5=2∴b5=2a5=4则S9==9b5=36故选A点评：本题主要考查了等差数列的性质、求和公式及等比数列的性质的简单应用，属于基础试题3．（5分）将函数f（x）=cos（π+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为，图象关于直线对称B．周期为π，图象关于对称C．在上单调递增，为偶函数D．在上单调递增，为奇函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x﹣），根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=sin2x，从而得出结论．解答：解：函数f（x）=cos（π+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x=﹣cosx（cosx﹣2sinx）+sin2x=﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣），把函数f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，故函数g（x）在上单调递增，为奇函数，故选D．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，三角函数的恒等变换，三角函数的图象和性质，属于中档题．4．（5分）（2012•朝阳区二模）在△ABC中，||=2，||=3，，且△ABC的面积为，则∠BAC等于（）A．60°或120°B．120°C．150°D．30°或150°考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得∠BAC为钝角，且×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC的值．解答：解：∵在△ABC中，|=2，||=3，，且△ABC的面积为，∴∠BAC为钝角，且×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，故∠BAC=150°，故选C．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．5．（5分）若一个正三棱柱的底面边长为2，高为2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径R=，用球表面积公式即可算出该球的表面积．解答：解：设三棱柱ABC﹣A'B'C'的上、下底面的中心分别为O、O'，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO'中点O1，∵OA=AB=，OO1=AA'=1∴O1A===因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=故选：C点评：本题给出所有棱长均为2的正三棱柱，求它的外接球的表面积，着重考查了正三棱柱的性质、球的内切外接性质和球的表面积公式等知识，属于基础题．6．（5分）已知偶函数y=f（x）（x∈R）在区间[0，3]上单调递增，在区间[3，+∞）上单调递减，且满足f（﹣4）=f（1）=0，则不等式x3f（x）＜0的解集是（）A．（﹣4，﹣1）∪（1，4）B．（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）∪（1，4）D．（﹣4，﹣1）∪（0，1）∪（4，+∞）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；数形结合；函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）的草图，x3f（x）＜0⇔，根据图象即可解得不等式组的解集．解答：解：根据题意作出函数y=f（x）的草图：由图象知，x3f（x）＜0⇔⇔或，解得0＜x＜1或x＞4或﹣4＜x＜﹣1，故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查抽象不等式的求解，考查数形结合思想，属中档题．7．（5分）（2013•惠州模拟）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：根据题意和图形取AP的中点为D，设∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案．解答：解：如图：取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2sinθ，l=2θR=2θ，∴d=2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选C．点评：本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力．8．（5分）已知函数f（x）=lnx+3x﹣8的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=（）A．5B．4C．3D．2考点：函数的零点．分析：由f（2）f（3）＜0，和函数的单调性可得函数唯一的零点x0∈[2，3]，进而可得ab，可得答案．解答：解：∵f（x）=lnx+3x﹣8，可得函数为（0，+∞）上的增函数，而且f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3+1＞0，即f（2）f（3）＜0，故函数有唯一的零点x0∈[2，3]，且满足题意，故a=2，b=3，a+b=5，故选A点评：本题考查函数的零点，涉及对数的运算，属基础题．9．（5分）=1上有两个动点P、Q，E（3，0），EP⊥EQ，则的最小值为（）A．6B．C．9D．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．分析：根据EP⊥EQ，和向量的数量积的几何意义，得∴==EP2，设出点P的坐标，利用两点间距离公式求出EP2，根据点P在椭圆上，代入消去y，转化为二次函数求最值问题，即可解得结果．解答：解：设P（x，y），则，即∵EP⊥EQ，∴=﹣=EP2，而EP2=（x﹣3）2+y2=，∵﹣6≤x≤6∴当x=4时，EP2=（x﹣3）2+y2=有最小值6，故选A．点评：此题是个中档题．考查了向量在几何中的应用，以及向量数量积的几何意义，和椭圆的有界性，二次函数求最值等基础知识，注意椭圆的有界性，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．10．（5分）定义在R上的可导函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[0，2]时，，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不确定考点：导数的几何意义；不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：首先利用导数即可判断函数的单调性，再利用函数的奇偶性、周期性把与的自变量变换到区间[0，2]即可得出．解答：解：∵f（x﹣2）=f（x+2），∴f（x+4）=f（x）．又f（﹣x）=f（x），∴，．∵当x∈[0，2]时，，∴，令x=0，则，解得f′（0）=2．∴f′（x）=ex+x＞0，（x∈[0，2]）∴函数f（x）在区间[0，2]上单调递增．∴，即．故选C．点评：熟练掌握函数的奇偶性、周期性、利用导数研究函数的单调性是解题的关键．二、填空题：本大题共5小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填写在答题卡对应题号的位置上．11．（5分）（2012•奉贤区二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：先由三视图确定原几何体，在根据条件找到原几何体的边长关系，进而可求得体积解答：解：由三视图可得原几何体如图：其中PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AB=AC=1∴三棱锥的体积为：故答案为：点评：本题考查三视图，由三视图求原几何体的体积和面积，关键是由三视图中的平行垂直关系，确定原几何体中的平行垂直关系；又三视图中的长度关系，确定原几何体中的长度关系．属简单题12．（5分）（2009•宁波模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则的值为4．考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：先根据正弦定理得到sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，再由两角和与差的正弦公式进行化简可得到sinAcosB=4sinBcosA，然后转化为正切的形式可得到答案．解答：解：由acosB﹣bcosA=c及正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，即sinAcosB﹣sinBcosA=sin（A+B），即5（sinAcosB﹣sinBcosA）=3（sinAcosB+sinBcosA），即sinAcosB=4sinBcosA，因此tanA=4tanB，所以=4．故答案为：4点评：本题主要考查正弦定理的应用和切化弦的基本应用．三角函数的公式比较多，要注意公式的记忆和熟练应用．13．（5分）已知x、y满足不等式组，若O为坐标原点，M（x，y），N（1，﹣2），则•的最小值是﹣4．考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式组画出可行域，再由给出的两个点的坐标写出•的表达式，利用线性规划知识求线性目标函数的最小值．解答：解：由不等式组得可行域为△ABC的边界及其内部，如图，由x﹣y=﹣2，2x+y=2解得A（0，2）．由x﹣y=﹣2，x+2y=﹣2解得B（﹣2，0）．由x+2y=﹣2，2x+y=2解得C（2，﹣2）．∵M（x，y），N（1，﹣2），∴=（x，y），=（1，﹣2）．则•=x﹣2y．令z=•=x﹣2y，则，要使z最小，则直线在y轴上的截距最大．由可行域可知，当直线过点A（0，2）时截距最大，所以z的最小值为0﹣2×2=﹣4．即•的最小值是﹣4．故答案为﹣4．点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了数学转化思想，训练了线性目标函数最值的求法，解答此类问题，最好的方法是把线性目标函数转化为直线方程的斜截式，把求目标函数的最值问题转化为求直线在y轴上的截距最大或最小问题．是中档题．14．（5分）已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为[3，6]．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：将圆的方程化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A（a，9﹣a）①当a≠2时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，求出a的范围．②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线有y﹣7=x﹣2，M到它的距离，判断这样点C不在圆M上不成立．解答：解：圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A点的横坐标为a．则纵坐标为9﹣a；①当a≠2时，kAB=，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得k=，直线AC的方程为y﹣（9﹣a）=（x﹣a）即5x﹣（2a﹣9）y﹣2