常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)

常用函数的傅里叶变换11G(x)f(x)F(P))]2)G(P12[G(P12cos(Sx)GG(P)1sin(Sx)xexp(Sx2)jPexp(SP2)exp(Sx2)exp(SP2))]2122jG(P)j[G(P1)G(PGcomb(x)comb(P)rect(x)sinc(P)tri(x)sinc2(P)cirr()J1U()一、δ函数的傅里叶变换：由卷积定理知：)()()(xgxxg=∗δ等号两边作傅里叶变换：)G(u1)(=∆u即：（1-55）（1-56）一个光脉冲的傅氏变换是一束空间频率为0的单位振幅平面波反之亦然设：，物理意义)(xδ[])(ux∆=)(δ[])(uGxg=)([]1=)(xδF[]=1FF.T.F.T.F.T.•)(u∆)G(u=2由位移定理：[]?=−)(0xxδF一束空间频率为u的单位振幅平面波物理意义)exp(0ux2iπ−=)(0xx−δ一个位于x0点的光脉冲)exp(0ux2iπ−F.T.普遍型经傅氏变换[])(0xx−δF[])exp(0ux2ixπδ−•=)(F3二、梳状函数的傅里叶变换[])comb()comb(ux=F)comb(combauaax=F普遍型二维情况)comb()comb(combcombbvauabbyax=F结论comb函数的傅里叶变换仍是comb函数证明请查阅有关参考书4三、矩形函数的傅里叶变换[]?)rect(=xF根据定义[]()∫∞∞−−•=dxux2jxxπexp)rect()rect(F()dxux2j2/121π−=∫−/exp1/2-1/2uuππ)sin(=()ux2ju2j1ππ−−=exp结论：rect（x）sinc（u）F.T.≤=其它,,rect02ax1ax)(sincu=5普遍型axrectFauauaππ)sin(=)sinc(aua=证明：根据相似性定理6四、高斯函数的傅里叶变换Gaus(x)=exp[-πx2]F[Gaus(x)]=F{exp[-πx2]}[]dxux2jxππ−•=∫∞∞−exp]exp[-2=exp[-πu2]=Gaus(u)结论：Gaus（x）Gaus（u）F.T.推导一维情况7五、余弦函数的傅里叶变换F[cos（2πu0x）]其中u0=1/ΤΤ为周期[]exp][cosdxux2jxu20ππ−•=∫∞∞−[]exp])exp(-)[exp(dxux2jxu2jxu2j2100πππ−•+=∫∞∞−[])()(00uuuu21++−=δδ1/2-u0u00uF(u)结论:余弦函数的傅里叶变换是δ函数组合8六、三角形函数的傅里叶变换[]?)(=xΛF推导一维情况)(rect)(rect)(xxx∗=Λ)](rect)(rect[)]([xxx∗=FFΛ)](rect[)](rect[xxFF•=)(sinc)(sincuu•=)(sinc2u=结论:三角形函数的傅里叶变换是sinc函数的平方已知9七、符号函数的傅里叶变换[]uj1xπ=)sgn(F请自行证明留待推算[]vj1uj1yxππ•=))sgn(sgn(F二维八、函数的傅里叶变换]exp[xjπ)(]}{exp[21uxj−=δπF10七、圆域函数的傅里叶变换ρπρ)2()](circ[122Jyx=+F一阶第一类贝塞尔函数ρρπ)2()](circ[122aJayx=+F普遍型：请自行证明半径11七、step函数的傅里叶变换[])()step(u21u2j1xδπ+=F请自行证明提示：利用关系式)sgn(1-)2step(xx=以及傅里叶变换的定理进行推导12˄˄˅㓯ᙗᇊ⨶˖ྲ᷌˄⌒Ⲵਐ࣐৏⨶˅ࡉᴹ˄˅⴨լᙗᇊ⨶˖ྲ᷌˄㕙઼᭮৽╄ᇊ⨶˅ࡉᴹ˄অ㕍㹽ሴˈ㕍ゴ㹽ሴਈᇭ˅^`xxfHfGxhxgFEDED^`^`xxfHxhFfGxgF,^`xfGxgF^`¸¹·¨©§afGaaxgFx1ࡳ஝ሀؐওު஛˄˄˅ս〫ᇊ⨶˖ྲ᷌ࡉᴹ࠭ᮠ൘オฏѝⲴᒣ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴ⴨਼〫ᰦ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ⴨〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫^`xfGxgF^`afjfGaxgFxxS2exp^`axaffGxfjxgFS2exp㪉㪉f[([((fx()))]]]F(P)᷍x0㬨⤜㸋㒄⭥㬖⧄㭞᷍䋓䇱f[([(((fxx)]rexp(jr2SP00x)F(P)᷉㠞䄧㾵䐫᷊expp[([(j2SPjx)f(xr)]FP(P000000))᷉㼁䄧㾵䐫᷊㵍㵍㬒⫇䊻㰖⳦⼮㠞䄧㬒⭥䊬㰄Ⳟⳉ㠞䄧⼮㰖⳦㉚㬨ⰵ䓵⢅㑠[⼮P㡑䔘䇤᱄㪉[()]()fxFP䋓00[()][()]axxxaffxbbar­½r®¾¯¿00000000000(2)()xbbjFaaaSPPrexp᷊᷉᷉㘇〞ⰵ䇇⹹㻖㪉[()]()fxFP䋓䇱()(0)fxxFff³d()(0)FfPPff³d᷊᷉᷉I᷉[᷊㤛㼀㻣㘇〞⭩䇻(0)F᷍㒄㠖⭩䇻⼐㭞⭥㚽㑠䐖᷊ᷜ᷉()FP⭥㤛㼀㻣㘇〞䋓⭩䇻(0)f᱄˄˄˅ᑅ㢢Հ˄3DUVHYDO˅ᇊ⨶˖ྲ᷌ࡉᴹ˖䈕ᇊ⨶㺘᰾ؑਧ൘オฏ઼ᰦฏⲴ㜭䟿ᆸᚂDŽ^`xfGxgFdxfGdxxgx³³ffff22ࣿࣿሯ֛ນၓު஛㪉f[([((fx()))]]]F(P)᷍g[([((gx()))]]]G(P)ffff³³䋓䇱ᷛfx()g*()xx˜F()G*˜(PP)ddP˄˄˅ڵ䟼ਦ〟࠶ᇊ⨶˖൘࠭ᮠⲴ਴њ䘎㔝⛩кᴹሩ࠭ᮠ⴨㔗䘋㹼↓ਈᦒ઼䘶ਈᦒˈ䟽ᯠᗇࡠ৏࠭ᮠ˗㘼ሩ࠭ᮠ⴨㔗䘋㹼є⅑↓ਈᦒᡆ䘶ਈᦒˈᗇࡠ৏࠭ᮠⲴĀق・ۿāDŽyxg,^`^`yxgyxgyxg,,FF,FF-1-1^`^`yxgyxgyxg,,FF,FF-1-1૟৕ު஛$$᷏᷏㉎㉎〞Ⰹ㏎㪉㪉[()](),[()]()fxFgxGPP᷍䋓䇱ᷛ[()()]()()fxgxFGPP…%᷏㉎〞Ⰹ㏎[()()]()()fxgxFGPP…表6.3常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系∫+∞∞−=ωωπωdeFtftj)(21)(dtetfFtj∫+∞∞−−=ωω)()(连续傅里叶变换对相对偶的连续傅里叶变换对重要连续时间函数)(tf傅里叶变换)(ωF连续时间函数)(tf傅里叶变换)(ωF重要√)(tδ11)(2ωπδ√√)(tdtdδωjt)(2ωδωπddj)(tdtdkkδkj)(ωkt)(2ωδωπkkkddj√)(tu)(1ωπδω+jtjtπδ21)(21−)(ωu)(ttu21)(ωωδωπ−ddj⎩⎨⎧−=0,10,1)sgn(tttωj20,1≠tπ⎩⎨⎧−=0,0,)(ωωωjjF√)(0tt−δ0tjeω−tje0ω)(20ωωπδ−√t0cosω)]()([00ωωδωωδπ−++)()(00tttt−++δδ0cos2tωt0sinω)]()([00ωωδωωδπ−−+j)()(00tttt−−+δδ0sin2tjω√⎪⎩⎪⎨⎧=ττtttf,0,1)()2(ωττSa)(WtSaWπ⎪⎩⎪⎨⎧=WWFωωω,0,1)(√√⎪⎩⎪⎨⎧−=τττttttf,0,1)()2(2ωττSa)2(22WtSaWπ⎪⎩⎪⎨⎧−=ωωωω,0,1)(√0}Re{),(−atueatωja+1jt−τ10),(2−τωπτωue0}Re{,−aeta222aa+ω22ττ+t0,−τπωτe√0}Re{),(cos0−attueatω202)(ωωω+++jaja√0}Re{),(sin0−attueatω2020)(ωωω++ja0}Re{),(−atuteat2)(1ωja+0,)(12−ττjt)(2ωπωτωue−0}Re{),()!1(1−−−atuketatkkja)(1ω+√∑+∞−∞=−=lTlTtt)()(δδ∑+∞−∞=−kTkT)2(2πωδπ√2)(τte−2)2(ωττπ−e√ttutu0cos)]2()2([ωττ−−+]2)0(2)0([2τωωτωωτ−++SaSa∑+∞−∞=ktjkkeF0ω∑+∞−∞=−kkkF)(20ωωδπ总结2连续傅里叶变换性质及其对偶关系∫+∞∞−=ωωπωdeFtftj)(21)(dtetfFtj∫+∞∞−−=ωω)()(1(0)()2fFdωωπ+∞−∞=∫(0)()Fftdt+∞−∞=∫连续傅里叶变换对相对偶的连续傅里叶变换对重要名称连续时间函数)(tf傅里叶变换)(ωF名称连续时间函数)(tf傅里叶变换)(ωF重要√线性)()(21tftfβα+)()(21ωβωαFF+√尺度比例变换0),(≠aatf)(1aFaω对偶性)(tf)(ωg)(tg)(2ωπ−f√√时移)(0ttf−0)(tjeFωω−频移tjetf0)(ω)(0ωω−F√时域微分性质)(tfdtd)(ωωFj频域微分性质)(tjtf−)(ωωFdd√时域积分性质∫∞−tdfττ)()()0()(ωδπωωFjF+频域积分性质)()0()(tfjttfδπ+−σσωdF∫∞−)(√时域卷积性质)(*)(thtf)()(ωωHF频域卷积性质)()(tptf)(*)(21ωωπPF√√对称性)(tf−)(*tf)(*tf−)(ω−F)(*ω−F)(*ωF奇偶虚实性质)(tf是实函数{})()(tfOdtfo={})()(tfEvtfe={})(ImωFj{})(ReωF希尔伯特变换)()()(tutftf=)()()(ωωωjIRF+=πωωω1*)()(IR=√时域抽样∑+∞−∞=−nnTttf)()(δ∑+∞−∞=−kTkFT)2(1πω频域抽样∑+∞−∞=−nntf)2(100ωπω∑+∞−∞=−kkF)()(0ωωδω√帕什瓦尔公式ωωπdFdttf22)(21)(∫∫∞∞−∞∞−=取反----------取反共轭----共轭取反共轭取反----共轭3基本的离散傅里叶级数对∫+∞∞−=ωωπωdeFtftj)(21)(dtetfFtj∫+∞∞−−=ωω)()(1(0)()2fFdωωπ+∞−∞=∫(0)()Fftdt+∞−∞=∫离散傅里叶级数对相对偶的离散傅里叶级数对重要周期N的序列~][nf傅里叶级数系数~kF周期N的序列~][nf傅里叶级数系数~kF重要√√√√√√√√√√√4双边拉氏变换对与双边Z变换对的类比关系()()stFsftedt+∞−−∞=∫()[]nnFzfnz+∞−=−∞=∑双边拉氏变换对双边Z变换对重要连续时间函数)(tf像函数)(sF和收敛域离散时间序列][nf像函数)(zF和收敛域重要√)(tδ1,整个s平面[]nδ1，整个Z平面√)(tk）（δks，有限s平面[]knδΔ1(1)kz−−，0z√)(tus1，0}Re{s[]un11(1)z−−，1z√√)(ttu21s，0}Re{s(1)[]nun+211(1)z−−，1z√1()(1)!ktutk−−1ks,0}Re{s(1)![]!(1)!nkunnk+−−11(1)kz−−，1z()ut−−s1，Re{}0s[1]un−−−11(1)z−−，1z()tut−−21s，Re{}0s(1)[1]nun−+−−211(1)z−−，1z1()(1)!ktutk−−−−1ks,Re{}0s(1)![1]!(1)!nkunnk+−−−−−11(1)kz−−，1z√()ateut−1sa+,Re{}Re()sa−[]naun11(1)az−−，za√√()atteut−21()sa+,Re{}Re()sa−(1)[]nnaun+211(1)az−−，za1()(1)!katteutk−−−1()ksa+,Re{}Re()sa−(