湖北省武汉市部分学校2015届高三9月起点调研数学理试题Word版含答案

武汉市2015届高三9月调研测试数学（理科）2014.9.5一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1＋2i(1－i)2＝A．－1－12iB．－1＋12iC．1＋12iD．1－12i2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x-＝3，y-＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A．y^＝0.4x＋2.3B．y^＝2x－2.4C．y^＝－2x＋9.5D．y^＝－0.3x＋4.44．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝A．2B．22C．32D．425．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A．112B．5C．92D．46．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于A．32B．332C．3＋62D．3＋3947．x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0．若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A．12或－1B．2或12C．2或1D．2或－18．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则a9＝A．19B．22C．5D．279．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，→OA·→OB＝2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是A．28B．24C．22D．210．已知函数f(x)＝x2＋ex－12（x＜0）与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是A．(－∞，1e)B．(－∞，e)C．(－1e，e)D．(－e，1e)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设二项式(x－13x)5的展开式中常数项为A，则A＝．12．如果执行如图所示的程序框图，输入x＝－1，n＝3，则输出的数S＝．13．正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．14．已知椭圆C：x24＋y23＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝．15．平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有1AQ＋1AR＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A-BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－12．（Ⅰ）若sin(π4＋α)＝22，且0＜α＜π，求f(α)的值；（Ⅱ）当f(x)取得最小值时，求自变量x的集合．17．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an＋2－an＝λ；（Ⅱ）当λ为何值时，数列{an}为等差数列？并说明理由．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连结GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率．20．（本小题满分13分）如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y＝－2x＋m（其中m＜2）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|＜|PR|，求|PR||PQ|的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若f(x)≤kx2对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）当n＞m＞1（m，n∈N*）时，证明：nmmn＞mn．武汉市2015届高三9月调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．B2．A3．A4．C5．D6．B7．D8．C9．B10．B二、填空题11．－1012．－413．2314．815．1AQ＋1AR＋1AP＝3三、解答题16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵0＜α＜π，∴π4＜π4＋α＜5π4．…………………2分∵sin(π4＋α)＝22，∴π4＋α＝3π4，即α＝π2．…………………4分∴f(α)＝cosα(sinα＋cosα)－12＝cosπ2(sinπ2＋cosπ2)－12＝－12．……………………6分（Ⅱ）f(x)＝sinxcosx＋cos2x－12＝12sin2x＋1＋cos2x2－12…………………7分＝12sin2x＋12cos2x＝22sin(2x＋π4)．…………………8分当2x＋π4＝2kπ－π2，k∈Z，即x＝kπ－3π8，k∈Z时，f(x)取得最小值，…………………10分此时自变量x的集合为{x|x＝kπ－3π8，k∈Z}．………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1．…………………2分两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1．…………………3分由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1．…………………5分由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1．令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4．…………………6分故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；…………………7分{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1．…………………8分所以an＝2n－1，an＋1－an＝2．…………………10分因此当λ＝4时，数列{an}为等差数列．………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，…………………1分∴EF∥AB，DC∥AB，…………………2分∴EF∥DC．又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD．…………………3分又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，…………………4分∴EF∥GH．又EF∥AB，∴AB∥GH．…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）在△ABQ中，∵AQ＝2BD，AD＝DQ，∴∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ．又PB⊥平面ABQ，∴BA，BQ，BP两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA＝BQ＝BP＝2，则B(0，0，0)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，(注：坐标写对给2分)∴→DP＝(－1，－1，2)，→CP＝(0，－1，2)．…………………8分设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n·→DP＝0，n·→CP＝0，得－x－y＋2z＝0，－y＋2z＝0．取z＝1，得n＝(0，2，1)．…………………10分又→BQ＝(0，2，0)为平面PAB的一个法向量，∴cos＜n，→BQ＞＝n·→BQ|n||→BQ|＝2×25×2＝255．故平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为55．………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4．（注：基本事件叙述各1分）2分∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800．…………………4分P(X＝4000)＝P(A-)P(B-)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(A-)P(B)＋P(A)P(B-)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2．∴X的分布列为X40002000800P0.30.50.2……………………………………………………………6分（注：每个概率1分）（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i＝1，2，3），…………8分由题意知C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8（i＝1，2，3）．∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为P＝C33×0.83＋C23×0.82×0.2＝0.512＋0.384＝0.896．…………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，且y≠0．…………………1分当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．…………………2分当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有tan∠MBA＝2tan∠MAB1－tan2∠MAB，即－|y|x－2＝2|y|x＋11－(|y|x＋1)2，…………………4分化简可得，3x2－y2－3＝0．而点(2，±3)在曲线3x2－y2－3＝0上，…………………5分综上可知，轨迹C的方程为x2－y23＝1（x＞1）．………………………………6分（Ⅱ）由y＝－2x＋m，x2－y23＝1．消去y并整理，得x2－4mx＋m2＋3＝0．（*）…………7分由题意，方程（*）有两根且均在(1，＋∞)内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，∴－－4m2＞1，f(1)＝12－4m＋m2＋3＞0，△＝(－4m)2－4(m2＋3)＞0．解得m＞1，且m≠2．……………9分∵m＜2，∴1＜m＜2．…………………10分设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|＜|PR|及方程（*）有xR＝2m＋3(m2－1)，xQ＝2m－3(m2－1)，∴|PR||PQ|＝xRxQ＝2m＋3(m2－1)2m－3(m2－1)＝2＋3(1－1m2)2－3(1－1m2)＝－1＋42－3(1－1m2)．由1＜m＜2，得1＜－1＋42－3(1－1m2)＜7．…………………12分故|PR||PQ|的取值范围是(1，7)．……………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）求导数，得f′(x)＝a＋lnx＋1．…………………1分由已知，得f′(e)＝3，即a＋lne＋1＝3∴a＝1．……………………………………………………………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)＝x＋xlnx，∴f(x)≤kx2对任意x＞0成立⇔k≥1＋lnxx对任意