某型号空心传动轴的优化设计

某型号空心传动轴的优化设计机械工程2015J103张媛媛欲设计如图1-1所示的某型号空心传动轴，其中D和d分别为空心轴的外径和内径，轴长L=4m。轴的材料密度ρ=7.8×10³kg/m³，剪切弹性模量G=80GPa，许用剪切成功[r]=40MPa，单位长度许用扭转角[Ø]=1°/m，轴索传递的功率P=5.5kW，转速n=200r/min。在满足许用条件和结构尺寸限制条件的前提下对该空心轴进行优化，使该轴的质量最小。一、确定工作变量图1-1所示传动轴的力学模型是一个受扭转的圆柱桶轴。其外径D和内径d是决定圆轴的重要独立参数，故可作为设计变量，将其写成向量形式：X=[x1，x2]T=[D,d]T（1-1）二、简历目标函数若取质量最小为优化目标，则目标函数空心圆轴的质量可按下式计算：M=4πρL（D²-d²）（kg）（1-2）L可见，这是一个合理选择D和d而使质量M最小的优化问题。注意：再设计时要确定目标变量的单位。在确定目标函数和约束条件时，应保持它们单位的一致，即D、L的单位为毫米（mm），质量M的单位为千克（kg）。三、上述设计应满足的使用条件和结构尺寸限制如下：（1）扭转强度、根据扭转强度，要求扭转剪应力需满足τmax=tWT≤[τ](1-3)式中，T为圆轴所受扭转，T=n9549P(N•m)；Wt为抗扭截面模量，Wt=DD16d-44）π（(MPa)。（2）扭转刚度，为了确保传动轴正常工作，除满足扭转强度条件外，还要限制轴的变形，限制即为刚度条件，通常要求单位长度的最大扭转度扭转角不超过规定的许用值，即Ø=pGIT≤[Ø]（1-4）式中，Ø为单位长度扭转角（rad）；G为剪切模量(MPa)；Ip为极惯性矩（m4）。（3）结构尺寸。由结构尺寸要求决定的约束条件d0dD由已知条件：功率（W）=60min/rm2）转速（）扭矩（πN,扭矩（N•m）=）转速（）功率（min/rk9549W，可得Ip=32d44）π（D（1-5）6410d200165.595494）（πDD-40≤0（1-6）Ø=pnGIM×π180=）π（44nd-32DGM×π180（1-7）-1≤）（π442d80200180325.59549D0（1-8）将所有的函数表达式规范化并带入已知数据，可得传动轴优化设计的数学模型，即minƒ（x）=24504×10-6×（x21-x22）（1-9）满足约束条件：0)(X0Xg01109157.1Xg0133435Xg2434241624241112xgxxxxxx）（）（）（（1-10）四、优化程序及优化结果1.设计目标心圆轴的质量最小2.MATLAB优化程序及优化结构应用MATLAB软件的优化工具箱对上述优化问题求解。（1）取设计变量的初值为x0=[2010]。首先编写目标函数的Objfun.m,返回x处的函数值f。functionf=fun（x）f=24.504e-6*（x（1）^2-x（2）^2）；（2）编写描述非线性约束的m文件nonlcon.m。function[c，ceq]=nonlcon（x）c=[3.3435e4*x（1）/（x（1）^4-x（2）^4）-1；1.9157e6/（x（1）^4-x（2）^4）-1]；ceq=[];（3）运行run.m函数，给定初值，并调用优化函数。x0=[2010]；A=[-11]；b=0；lb=[00]；[x，f，exitflag，output]=fmincon（´fun´,x0,A,b,[],[],lb,[],´nonlcon´)（4）优化程序经过7次迭代计算后收敛，可得空心传动轴的外径和内径的最优解分别为D=37.2mm，d=9.87mm，此时空心轴的质量最轻，其值为0.0321kg。